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Abgeschlossene Menge

Satz über abgeschlossene Mengen

Sei metrischer Raum, . Dann sind gleichwertig:

ist abgeschlossen in .

Es gibt Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind in , z.B. sind sowohl abgeschlossene als auch offene Mengen in .

Es gibt Mengen, die weder offen, noch abgeschlossen sind, z.B.

Eine abgeschlossene Menge ist eine Teilmenge eines topologischen Raums, deren Komplement eine offene Menge ist.

Beispiel

Das Intervall [0, 1] in den reellen Zahlen

Alle reellen Zahlen größer 0 oder gleich 0 sowie kleiner als 1 oder gleich 1 gehören zu dieser abgeschlossenen Menge. 

Das Komplement dieser abgeschlossenen Menge ist dann eine offene Menge. Sie wird als negiertes Intervall ausgedrückt , anders geschrieben:   hingegen ist eine offene Menge.  bedeutet „kleiner oder gleich“,  bedeutet „größer oder gleich“. Alle reellen Zahlen kleiner als 0 und größer als 1 sowie die Zahlen 0 und 1 als Randelemente gehören zu dieser abgeschlossenen Menge. 

Abgeschlossen / Kompakt

M heißt abgeschlossen, wenn jeder Randpunkt von M zu M gehört.

M heißt kompakt, falls M beschränkt und abgeschlossen ist.