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Ableitungen mehrerer Variablen

Bis jetzt hatten wir es mit Funktionen einer einzigen Input-Variablen zu tun. Beispiele in der Physik sind etwa der Ort eines Massenpunktes zum Zeitpunkt , also .

Bekanntlich ist dann die Momentangeschwindigkeit die erste Ableitung nach der Zeit:

Die zweite Ableitung ist die Beschleunigung:

Der zeitliche Verlauf der Bewegung wird dann über die Newtonsche Bewegungsgleichung beschrieben.

Bei sehr vielen Phänomenen in der Physik hängt aber die physikalische Größe von mehr als einer Input-Variablen ab.

Wollen wir etwa die Ausbreitung einer ebenen Welle beschreiben, so hängt die Auslenkung (Amplitude) vom Ort und von der Zeit ab.

Die bekannte Form der Lösung erhalten wir als Lösung der Wellengleichung

In dieser partiellen Differenzialgleichung erkennst du den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung der Funktion in Bezug auf die Zeit und dem Ort .

Die Variable bezeichnet die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

Du wirst noch zahlreichen weiteren Fällen begegnen, die partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher erfordern, z.B. die Temperaturverteilung .

So ist die Wärmeleitungsgleichung eine Funktion der Ortsposition und der Zeit , wobei den Wärmeleitkoeffizienten darstellt.

Elektrostatik mit der Ladungsdichte (Ladung pro Volumen) und der elektrischen Feldkonstanten.

Quantenmechanische Zustandsgleichung (Schrödinger-Gleichung)

Der Zustand eines Systems mit nur einem Teilchen wird durch eine Wellenfunktion  beschrieben. Die Quantenmechanische Zustandsgleichung beschreibt die zeitliche Veränderung eines physikalischen Systems in nichtrelativistischer Näherung.

Darin ist  imaginäre Einheit und die reduzierte elektromagnetische Frequenzkonstante (Plancksche Konstante).