• Startseite
• Inhalt
• Index

Abzählbare Mengen

Um die Mächtigkeit unendlicher Mengen zu beschreiben, hat Georg Cantor unendliche Kardinalzahlen eingeführt, die er dem hebräischen Alphabet entnahm.

(Aleph)

Das ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets. Er kann mit einem Index durchnummeriert werden.

Bei den natürlichen Zahlen geht man davon aus, dass sie unendlich sind, also nie enden. Ihre Mächtigkeit nennt man abzählbar, obwohl niemand dies in seinem Leben schaffen würde.

„Eine unendliche Menge heißt abzählbar unendlich, wenn jedem Element der Menge eine natürliche Zahl eindeutig zugeordnet werden kann, d. h., wenn die Elemente der Menge nummeriert werden können.

Abzählbar unendliche Mengen sind u. a. die Menge der geraden Zahlen, die Menge der ungeraden Zahlen, die Menge der rationalen Zahlen, die Menge der Primzahlen. Es gibt ‚ebenso viele‚ gerade wie natürliche Zahlen, und die Aussage, es gäbe nur halb so viele gerade wie natürliche Zahlen, trifft nicht zu.“ [Otu04, S. 35]

Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen ist Aleph 0. Die erste unendliche Kardinalzahl wird mit bezeichnet. Der Index beginnt mit 0.

Die Menge der Primzahlen ist abzählbar unendlich, weil sie eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Außerdem ist sie nach dem Satz von Euklid auch unendlich.

In der ersten Reihe wurden die natürlichen Zahlen n aufgelistet. Darunter ist eine Funktion f(n) zu erkennen, die Primzahlen bilden soll.

Die Menge der ganzen Zahlen ist abzählbar unendlich.

In der ersten Reihe wurden die natürlichen Zahlen n aufgelistet. Darunter ist eine Funktion f(n) zu erkennen, die die ganzen Zahlen mit abwechselnden Vorzeichen bilden soll.

Die Menge der Paare natürlicher Zahlen ist abzählbar unendlich. Die Variablen i und j sollen in der Menge des Kreuzprodukts von natürlichen Zahlen liegen. Das sieht aus wie ein Netz mit ganz vielen Maschen und viel Luft dazwischen oder wie ein überdimensionales Schachbrett.

Schachbrett (Quelle: Antonsusi)

Bei diesem Schachbrett sollen die Zahlen links und die Buchstaben unten die Paare (i, j) darstellen.

Eine andere Darstellung:

In der ersten Reihe wurden die natürlichen Zahlen n aufgelistet. Darunter ist eine Funktion f(n) zu erkennen, die die Paare aus natürlichen Zahlen bilden soll. Die Paare werden nach einem bestimmten Schema gebildet. Die erste Komponente i beginnt immer mit einer 1 und die dazu gehörige zweite Komponente endet schließlich mit einer 1. Dazwischen befinden sich auch Paare, deren Komponenten sich spiegeln. Schreibt man die Paare untereinander, erkennt man die Systematik der Paarbildung. Alle natürlichen Zahlen ab 1 werden in Kolonnen untereinander aufgelistet und zwar bei der ersten Komponente. Die erste Komponente enthält immer die gleichen Zahlen.

Bei der zweiten Komponente werden dagegen die natürlichen Zahlen stur runtergezählt.

(1, 1)

(1, 2), (2, 1)

(1, 3), (2, 2), (3, 1)

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

Da jedem Zahlenpaar bijektiv eine natürliche Zahl zuordnet werden kann, können alle Zahlenpaare eindeutig nummeriert und somit abgezählt werden.

Die Menge aller n-Tupel natürlicher Zahlen ist ebenfalls abzählbar unendlich. Dazu braucht man nur die Cantorsche Paarungsfunktion anwenden wie bei den Paaren, allerdings diesmal mit unendlich vielen Dimensionen n. Das klappt!

Auch die rationalen Zahlen haben die gleiche Mächtigkeit wie die natürlichen Zahlen.

Überabzählbare Mengen

Der seltsame Begriff überabzählbare Mengen wird angewandt auf die reellen Zahlen. Sie haben eine größere Mächtigkeit als die natürlichen Zahlen. Ihre Mächtigkeit entspricht der Mächtigkeit der Potenzmenge der natürlichen Zahlen, nämlich .

Warum die reellen Zahlen „mächtiger“ als die natürlichen Zahlen sind, ergibt aus der einfachen Überlegung, dass es keine 1:1-Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen und reellen Zahlen existiert. Man braucht sich nur vorstellen, dass es unendlich viele irrationale Zahlen es gibt, wenn nur eine Ziffer vor dem Komma steht.

Das wird unvorstellbar mehr, wenn man unendlich viele Ziffern vor dem Komma annimmt.

Die Mächtigkeit des Kontinuums bleibt in ZFC unbestimmt. (Quelle: FerdiBf)

Dem Schaubild könnt ihr unterschiedliche Mächtigkeiten entnehmen. Oben links seht ihr die abzählbare Mächtigkeit bei bestimmten unendlichen Mengen, was durch das Aleph 0 symbolisiert wird. Darunter ist die überzählbare Mächtigkeiten bei anderen Mengen aufgeführt mit ganz unterschiedlichen Alephs.

Was es mit dem Kontinuum („Zusammenhängendes“) auf sich hat, erkläre ich nun.

Damit ist gemeint, dass es keine Lücken in den Zahlenmengen gäbe. Ihr wisst ja bereits, dass die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen eine andere ist als die der reellen Zahlen. So könnte man auf die Idee kommen, dass es zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen noch andere Zahlen geben könnte, deren Mächtigkeit zwischen diesen beiden Zahlenmengen läge. Das ist aber nicht der Fall. Es gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt.

Die Kontinuumshypothese heißt formal:

Die Kardinalzahl der reellen Zahlen wird geschrieben als Fraktur c, also so: . Das ist nur eine besondere Schreibweise, nichts Anderes.

Eine andere Formulierung der Kontinuumshypothese lautet

Das soll zeigen, dass die Mächtigkeit der reellen Zahlen eine Potenz von 2 ist. Die Mächtigkeit der Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist gleich der Mächtigkeit der reellen Zahlen.