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Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelationen

heißen Relationen, die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind.

z.B.

Gleichheit
mit ist gerade

Die Menge heißt Äquivalenzklasse von x.

Setze, ist die Menge aller Äquivalenzklassen.

Definition
Es sei eine gleichwertige Beziehung (Äquivalenzrelation) in einer bestimmten Menge . Zwei Elemente heißen gleichwertig (äquivalent), wenn

Die Beziehung mit dem Namen wird symbolisiert durch das Schlangensymbol . Es bedeutet: Die beiden Elemente und stehen in irgendeiner Beziehung (Relation) zueinander. Diese Beziehung hat den Namen . Sie wird mit benannt, was mit dem Symbol angedeutet wird.

Links steht also ein beliebiger Name und rechts von den drei Strichen, was getan werden soll und zwar:

Drei Eigenschaften müssen erfüllt werden:

1. selbstbezogene (reflexive) Beziehung

2. symmetrische Beziehung

3. überspringende (transitive) Beziehung

Zu 1: Die Elemente können auf sich selbst bezogen werden. Das ist bei einelementigen Mengen der Fall.

Zu 2: Die Variablen und sollen vertauschbar sein. Das Resultat in Mengenschreibweise ist:

Das bedeutet, links und rechts vom Komma sind die Elemente und nur vertauscht worden. Das ist bei zweielementigen Mengen der Fall.

Zu 3: Die Beziehung kann von einem Element zu einem dritten Element überspringen, wenn sie beide ein zweites Element gemeinsam haben, wie bei der Polygamie. Das ist bei dreielementigen Mengen der Fall.