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Algebraische Integralberechnungen

Wir können unser Wissen ums Integrieren nun anwenden, um Integrale zu lösen. Die Lösungsidee ist, rückzuschließen von der Differenzialrechnung auf die Integralrechnung. Bei den folgenden Beispielen stelle ich euch vor

Aufgabe 1

Berechnet das Integral von in den Grenzen und

Lösung

Den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung benutzen.

Erinnert euch: Die Funktion steht hinter dem Integrationszeichen. Die Funktion ist das, was ihr rausbekommen sollt. Ihr sollt also eine Funktion finden, deren Ableitung genau die Variable hinter dem Integrationszeichen ergibt.

Oder anders ausgedrückt:

Die abgeleitete Stammfunktion ist noch unbekannt. Wir müssen eine Funktion finden, deren Ableitung genau ergibt, und dies ist sie:

Diese Funktion passt zu unserer Aufgabe. Ihre Ableitung ergibt den Wert .

Also lautet die Lösung

Die Integrationsgrenzen und müssen berücksichtigt werden. Man setzt einfach die Zahlen und in das der Stammfunktion ein und errechnet die Differenz.

Eine gute Kenntnis der Differenzrechnung ist Voraussetzung für die Integralrechnung.

Aufgabe 2

Berechnet das Integral von in den Grenzen und

Lösung

Ihr sollt eine Funktion finden, deren Ableitung genau die Variable hinter dem Integrationszeichen ergibt.

Oder anders ausgedrückt

Wir raten geschickt. Die Ableitung von ergibt schon mal .

Hier stört die Zahl , da wir ja nur das haben wollen. Deshalb dividieren wir durch und differenzieren.

Die Formel für die Ableitung, die hier angewandt wird, lautet: .

Die Funktion passt zu unserer Aufgabe. Ihre Ableitung ergibt ja die Variable x.

Also lautet die Lösung

ist die Stammfunktion

, sind die eingesetzten Integrationsgrenzen

Die Integrationsgrenzen und müssen berücksichtigt werden. Man setzt einfach diese Zahlen in das der Stammfunktion ein und errechnet die Differenz.

Aufgabe 3

Berechnet das Integral von in den Grenzen und

Lösung

Ihr sollt eine Funktion finden, deren Ableitung genau die Variable hinter dem Integrationszeichen ergibt.

Wir raten geschickt. Die Ableitung von ergibt schon mal .

Hier stört die Zahl , da wir ja nur das haben wollen. Deshalb dividieren wir durch und differenzieren.

Die differenzierte Stammfunktion führt zur Variablen hinter dem Integrationszeichen. Das ist schon mal der Anfang der Lösung. Nun die Integrationsgrenzen und berücksichtigen.

Gelöst!

Aufgabe 4

Berechnet das Integral von in den Grenzen und

Lösung

Diese Aufgabe ist eine Kombination aus den oberen Aufgaben 1, 2 und 3 auf Seite 42 bis 43. Löst die Terme einzeln.

Ableitung der Stammfunktion errechnen, um die Terme hinter dem Integrationszeichen zu erhalten.

Das Fragezeichen durch in Frage kommende Terme ersetzen führt zu

Das vorläufige Ergebnis ist

Bei dieser Schreibweise werden schon die einzelnen ermittelten Terme der Integration aufgelistet, aber die Integrationsgrenzen und sind noch nicht in die -Variablen eingesetzt worden. Sie stehen hinter dem senkrechten Strich . Dieser Strich bedeutet das Gleiche wie . Er ist in der Integralrechnung üblich.

Nun setzt ihr die Integrationsgrenzen in das der Summanden ein und errechnet die Differenz der beiden Stammfunktionen.

Differenz errechnen:

Als Regel für die Integration von zusammengesetzten Ausdrücken habt ihr sicherlich erkannt, dass man einzelne Termine getrennt integriert. Bei der Differenz ist ggf. auf den Vorzeichenwechsel zu achten: .

Erkenntnisse

Aus den obigen Beispielen auf Seite 42 bis 43 lässt sich eine Regel für die Integration von einfachen Termen mit Exponenten herleiten.

Das waren die Beispiele. Beim ersten Beispiel habe ich ein ergänzt, damit ihr die Regel besser seht. Ein -Exponent ergibt bekanntlich immer . Deutlich ist zu sehen, dass sich der Exponent bei der Variablen hinter dem Integrationszeichen jeweils ums 1 erhöht und dann der erhöhte Exponent zusätzlich im Nenner erscheint. Das führt zu dieser Formel:

Das kleine ist ein beliebiger Exponent. Er kann auch sein. Der Buchstabe ist notwendig, wenn man keine Integrationsgrenzen angibt. Das ist die Abkürzung für Konstante.

Aufgabe 5

Berechnet das Integral von in den Grenzen und

Das ist diese Kurve:

Lösung

Wir wissen, dass die Ableitung von ist. Das Minuszeichen stört hier, weshalb wird die Ableitung von bilden und schwupps ist das Minuszeichen beim Sinus verschwunden.

Oder anders ausgedrückt

Die Stammfunktion anwenden.

Man muss wissen, was ergibt, nämlich . Der Cosinus ist beim Einheitskreis mit der -Achse „verbandelt“. Der Wert befindet sich links auf der -Achse, also im negativen Bereich. Der Wert befindet sich auf der -Achse rechts im positiven Bereich. Bei der Berechnung der Differenz muss man auf die Vorzeichenwechsel achten.

Aufgabe 6

Berechnet das Integral von in den Grenzen und

Das ist diese abfallende Gerade:

Lösung

Ihr wisst, dass die Ableitung von ist. Man könnte auch die Formel benutzen:

Das ist der negative Flächeninhalt des Dreiecks unterhalb der -Achse. Ihr hättet bei dieser einfachen Funktion auch die Dreiecksformel anwenden können .