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Allgemeine Kramersche Regel

gegeben:

gesucht:

(für k-te Spalte)

Ersetzen wir die k-te Spalte durch eine andere, , so entsteht eine Determinante mit zwei gleichen Spalten, also .

Die ändert sich nicht. Nun Multiplikation der oberen Zeile mit x_k und der unteren mit x_r.

→

Addieren

Folgerung:

Hat eine Lösung, so ist x_k durch die obige Formel gegeben, wenn . Umgekehrt liefert die obige Beziehung eine Lösung von falls .

ist gerade die Determinante, welche entsteht, wenn man in A die k-te Spalte durch ersetzt.