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Anmerkungen zum Arkustangens

Der Winkel des Arkustangens ergibt sich aus dem Quotienten, der ihm folgt. Dabei steht der Imaginärteil im Zähler und der Realteil im Nenner. Sie werden häufig mit bzw. bezeichnet.

Im Nullpunkt und ist der Arkustangens undefiniert.

Am Einheitskreis kann man gut ablesen, welche Werte die - und -Achse haben. Die -Achse hat hier nur reelle Werte von und , wohingegen die -Achse imaginäre Werte von und aufweist.

Wenn eine komplexe Zahl nur reelle Zahlen oder nur imaginäre Zahlen hat, ist die die Lösung am Einheitskreis leicht ablesbar. Er ist in Viertelkreise aufgeteilt.

Beispiel

Nur reelle Zahlen.

Nur imaginäre Zahlen.

Fingerregel und Cosinus

Zähle die Finger zum kleinen Finger hin. Dann schreibe die Wurzel aus der Anzahl und dividiere durch zwei.

Daumenregel und Sinus

Zähle die Finger zum Daumen hin. Dann schreibe die Wurzel aus der Anzahl und dividiere durch zwei.

Quadranten-Übersicht

Hier siehst du, wie du den Arkustangens korrigierst. Die Anordnung ist wie beiden Quadranten (römische Ziffern) im Koordinatenkreuz.

I) Erster Quadrant

Erster Quadrant Ergebnis aus Taschenrechner

Es gibt zwei Möglichkeiten im Einheitskreis, wo der Realteil positiv ist, nämlich im ersten und vierten Quadranten.

Im ersten Quadranten gibt es keine Probleme. Die beiden Variablen und sind positiv. Hier hilft der Taschenrechner zur Berechnung des Arkustangens.

Beispiel

( und sind positiv.)

Vor dem steht eine unsichtbare . Das Vorzeichen ist wichtig.

II) Zweiter Quadrant

Zweiter Quadrant (Psi halb) minus Ergebnis aus Taschenrechner

Man benutzt den Taschenrechner und tippt den Quotienten ein (ohne Vorzeichen).

Beispiel

( ist negativ, aber ist positiv.)

Das Ergebnis des Taschenrechners vom Halbkreis subtrahieren.

III) Dritter Quadrant

Dritter Quadrant (Psi halb) plus Ergebnis aus Taschenrechner

Der Quotient aus dem Real- und Imaginärteil wird positiv.

Beispiel

( und sind negativ.)

Die Minuszeichen heben sich auf, also das Ergebnis des Taschenrechners zum Halbkreis addieren.

IV) Vierter Quadrant

Vierter Quadrant (Psi) minus Ergebnis aus Taschenrechner

Im vierten Quadranten ist der Imaginärteil negativ, ist also negativ. Hier hilft der Taschenrechner zur Berechnung des Arkustangens (ohne Vorzeichen eingeben). Das Ergebnis versieht man mit einem Minuszeichen und zieht es vom Wert des Vollkreises ab.

Beispiel

( ist positiv, aber ist negativ.)

Das Ergebnis des Taschenrechners vom Vollkreis subtrahieren.

Ergebnis:

Übersicht

Beispiele

1)

ist nicht definiert.

2)

Das ist die positive Ordinate.

3)

Das ist die negative Ordinate.

4)

Das liegt im ersten Quadranten. Hier sind die Werte positiv und können direkt mit dem Taschenrechner ermittelt werden.

5)

Das liegt im vierten Quadranten. Das Ergebnis aus dem Taschenrechner muss vom Vollkreis subtrahiert werden.

6)

Das liegt im dritten Quadranten. Hier ist der Quotient negativ. Das Ergebnis aus dem Taschenrechner muss vom Halbkreis subtrahiert werden.

6)

Das liegt im vierten Quadranten. Hier ist der Quotient positiv. Das Ergebnis aus dem Taschenrechner muss zum Halbkreis addiert werden.

7)

Das ist die positive Abszisse. Der Winkel ist null.

8)

Das ist die negative Abszisse und hat den Winkel .