Aussonderungsschema (AUS)

Aussonderungsaxiom

Der wichtigste Schlüssel bei der Übersetzung in die sprachliche Form ist der senkrechte Strich | , der einfach als „für die gilt” zu lesen ist. Nach diesem Symbol werden Eigenschaften angegeben, die die Elemente der Menge charakterisieren. Beachten Sie, dass es hier belanglos ist, welches Symbol nach der Mengenklammer verwendet wird. Wir können anstelle von n genauso gut irgendein anderes Symbol benützen, z.B. x.

Aussonderungsaxiom (Aus)

Ist eine Menge, eine Formel (Bedingung), so ist ebenfalls eine Menge (eine Teilmenge von ).

Die leere Menge ist definiert durch

Der Durchschnitt (Schnittmenge)

Disjunkt heißen zwei Mengen, wenn

Das Komplement

Die symmetrische Differenz

Wenn Durchschnitte gebildet werden, so bedeutet das in der Mengenlehre etwas Spezielles. Das wird nichts „geschnitten”, sondern untersucht, ob die Mengen die gleichen Elemente enthalten. Und zwar muss in jeder beteiligten Menge das besagte Element enthalten sein. Es darf in keiner dieser Mengen fehlen, sonst ist es Essig mit der Durchschnittsmenge.

Durchschnittsmenge

lies: „geschnitten mit”

Unter diesem Hut ∩ sind alle die Elemente versammelt, die in allen Mengen vorkommen, also anders als beim Hütchenspieler auf einer belebten Einkaufsstraße, der das Publikum über den Verbleib seiner Erbsen täuscht und so tut, als ob sie sich noch unter dem Hütchen befinden. Nur Dumme fallen auf seinen Trick herein und bezahlen auch noch dafür. Gier kostet manchmal ordentlich Geld, offensichtlich ohne Aussicht auf Besserung, denn der Hütchentrick kommt immer gut an, jedenfalls vor der Geldübergabe an den Betrüger und vor dem Eintreffen der herbeigerufenen Polizei.

Jetzt zum Mitschreiben: Bei einer Durchschnittsmenge müssen die Elemente in jeder der Mengen enthalten sein.

Aussonderungsaxiom (Definition)

Ist eine Menge, eine Formel (Bedingung), so ist ebenfalls eine Menge (eine Teilmenge von ).

Die leere Menge ist definiert durch

Der Durchschnitt (Schnittmenge)

Disjunkt heißen zwei Mengen, wenn

Das Komplement

Andere Darstellung:

Die symmetrische Differenz

Zu jeder Eigenschaft E und jeder Menge A gibt es eine Menge B, die genau die Elemente von A enthält, auf die E zutrifft.

Eine Menge kann aufgrund bestimmter Eigenschaften beschrieben werden. Dies wird mit der Mengenklammer ausgedrückt, z. B.

Der große Buchstabe E ist die Abkürzung des Begriffs Eigenschaft. Der senkrechte Strich | heißt Pipe (Pfeife), weil er an eine Pfeife erinnert, allerdings nur an eine ganz schmale.

Das Element z befindet sich in der Menge A und dieses Element hat eine bestimmte Eigenschaft E. Was die Eigenschaft sein soll, wird normalerweise genau hinter dem Pipe-Symbol angegeben. Man könnte eine neue Menge bilden, die nur gerade oder ungerade Zahlen enthält. Oder man schreibt eine elegante mathematische Formel hinter die Pipe und erwartet vom Leser, diese Formel entsprechend umzusetzen. Dann erhält man eine neue Menge B. Aus der Menge A werden bestimmte Elemente z nach bestimmten Regeln ausgesondert, daher der Name Aussonderungsschema.

Ein z-Element wird ausgesondert und ist dann Element einer anderen Menge B. Die Aussonderung erfolgte aus einer Menge A über eine bestimmte mathematische Formel . Ob man nun den Begriff Eigenschaft oder Formel benutzt, ist persönliche Geschmackssache. In beiden Fällen folgt man den Anweisungen hinter der Pipe.

Eine wichtige Anmerkung: Man kann nach beliebigen Vorgaben (Eigenschaft E bzw. mathematische Formel ) Elemente aussondern. Das Aussonderungsschema ist ein brauchbares Verfahren zur Bildung von neuen Mengen. Wozu das Aussonderungsschema gut ist, könnt ihr nun selber feststellen. Mit seiner Hilfe könnt ihr Schnittmengen und Differenzmengen bilden.

Das Aussonderungsschema ist eine Reminiszenz an die naive Mengenlehre. Es kann ohne Bedenken durch das Ersetzungsschema ausgetauscht werden.

Aussonderungsschema (AUS)

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