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Axiome der Vektoraddition

(1) Beliebige Vertauschung (Kommutativgesetz)

Es ist egal, ob erst der Vektor oder erst der Vektor addiert wird.

Beispiel

(2) Beliebige Verknüpfung (Assoziativgesetz)

Es ist egal, ob zuerst die Summe von und errechnet wird oder zuerst die Summe der anderen Vektoren und .

Beispiel

(3) Neutrales Element

Es gibt einen Nullvektor , der nur Nullen enthält. Eine Addition damit verändert die Summe der Vektoren nicht.

Beispiel

(4) Inverses Element

Kurzschreibweise:

Das inverse Element hat ein negatives Vorzeichen. Die Addition eines Vektors mit seinem inversen Vektor ergibt den Nullvektor.

Beispiel

Übliche Schreibweise

Die negativen Komponenten addieren sich zu null.

Mathematische Eigenschaften der Vektoraddition

Die Vektoraddition ist eine abelsche Gruppe, weil sie die folgenden Kriterien erfüllt:

1. Assoziativität (Verknüpfbarkeit)

2. Neutrales Element

3. Inverses Element

4. Kommutativität (Vertauschbarkeit)

Zu Punkt 1: Assoziativität (Verknüpfbarkeit)

Vektoren können in beliebiger Reihenfolge miteinander verknüpft werden. Die Reihenfolge der Verschiebungen (= Addition) ist egal.

Zu Punkt 2: Neutrales Element

Das neutrale Element ist der Nullvektor. Er verschiebt keinen Vektor. Der Vektor verbleibt an seinem Ort, wo er ist.

Zu Punkt 3: Inverses Element

Das inverse Element dreht die Richtung eines Vektors um. Bei einer Addition eines Vektors mit seinem inversen Element wird dieser Vektor vernichtet (= Richtungsumkehr). Es entsteht der Nullvektor.

Zu Punkt 4: Kommutativität (Vertauschbarkeit)

Bei der Vektoraddition können die Summanden (= Vektoren) beliebig vertauscht werden.

Die Addition erfolgt elementenweise (mit

Bei der Addition werden die jeweiligen Komponenten addiert. Das Ergebnis kann durchaus negativ sein.

Zeilenschreibweise

Mit Zahlen gespickt:

Die Summe der beiden Vektoren und ist (3,6). Der neue Vektor endet im Punkt (3,6).

Spaltenschreibweise

Mit Zahlen gespickt:

Hier ändert sich nichts. Der neue Vektor endet im Punkt (3|6).

Die vorderen Komponenten x und die hinteren Komponenten y werden jeweils summiert. Dadurch wird der Vektor nach rechts und nach oben verschoben („Translation“). Die Spaltenschreibweise ist übersichtlicher als die Zeilenschreibweise. Geübte Mathematiker benutzen auch gerne die Zeilenschreibweise.

Durch die Addition von zwei Vektoren entsteht ein dritter Vektor. Ich demonstriere mal, wie sich die Längen der Vektoren verhalten.

Der Vektor im Punkt (1|1).

Die Länge des Vektors.

Der Vektor im Punkt (2|5).

Diese beiden Vektoren werden addiert. Dadurch ergibt sich ein längerer Vektor, der aus der Summe der beiden zuvor berechneten Längen besteht.

Länge des Vektors plus Länge des Vektors ergibt 6,799.