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Axiome der skalaren Vektormultiplikation

Hier geht es nur um die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, einer beliebigen Zahl. Die Multiplikation von Vektoren mit Vektoren wird hier nicht behandelt. Das ist eine aufwendige Rechenoperation, kein Axiom mehr.

(1) Skalare Verteilung (Skalares Distributivgesetz)

Das Summenprodukt von Skalaren (Zahlen) mit einem Vektor kann in Einzelprodukte zerlegt werden.

Beispiel

Die Komponenten des Vektors werden mit den Koeffizienten und multipliziert.

(2) Vektorielle Verteilung (Vektorielles Distributivgesetz)

Bei der Multiplikation eines Koeffizienten mit zwei Vektoren kann dieser Koeffizient jeweils mit den einzelnen Vektoren multipliziert werden. Der gleiche Koeffizient wird mit verschiedenen Vektoren multipliziert.

Beispiel

Komponentenschreibweise

(3) Beliebige Verknüpfung mit einem Skalar (Assoziativgesetz)

Es ist egal, ob zuerst das Produkt der Koeffizienten und errechnet wird und dieses Produkt mit dem Vektor multipliziert wird oder zuerst der Vektor mit dem Koeffizienten multipliziert wird und dann dieses Produkt mit dem anderen Koeffizienten multipliziert wird.

Beispiel

(4) Neutrales Element bezüglich der skalaren Multiplikation

Das neutrale Element ist hier die Eins. Durch die Multiplikation mit dieser Zahl ändert nichts am Vektor.

Beispiel

Als Komponenten:

Den Koeffizienten eins bei der Multiplikation mit einem Vektor kann man getrost weglassen.

1. 1. 1. Skalare Vektormultiplikation

Die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (= Skalar) wird dieser verlängert oder verkürzt. Man spricht auch von Streckung und Stauchung. Dazu werden alle Komponenten des Vektors mit dem Skalar multipliziert.

Ausgangsvektor

Verdopplung des Vektors

Halbierung des Vektors

Halbierung des Vektors und entgegengesetzte Richtung

Der untere Vektor ist um 50 % länger als der obere. Der Koeffizient (= Skalar) verändert also seine Länge.

Beispiel mit Zahlen

Ermittele zuerst den Vektor a und multipliziere ihn dann mit dem Faktor . Dazu gehst du vom Fuß des Vektors Einheiten nach rechts und Einheiten nach oben.

Anschließend multiplizierst du den Vektor mit dem Faktor 1.5 (= Skalar). Alle Komponenten werden also mit diesem Faktor multipliziert.

Die neuen Komponenten kannst du schön dem Koordinatensystem entnehmen.

Mathematische Eigenschaften der skalaren Multiplikation

Die skalare Multiplikation hat etwas andere Eigenschaften als die Vektoraddition.:

1. Assoziativität (Verknüpfbarkeit)

2. Linearität (Verteilbarkeit)

3. Neutrales Element

4. Kommutativität (Vertauschbarkeit)

Zu Punkt 1: Assoziativität (Verknüpfbarkeit)

Die Koeffizienten (= Skalare) können beliebig verknüpft werden. Ihre Reihenfolge ist egal.

Diese Eigenschaft ist sehr nützlich. Einen Trick verrate ich dir. Du kannst aus einem Vektor eine reelle Zahl „herausziehen“, indem du alle Komponenten durch diese Zahl dividierst. Dadurch erhältst du einen Koeffizienten (= Skalar) und einen neuen Vektor mit neuen Komponenten. Dieser neue Vektor „schlummerte“ quasi „versteckt“ im alten Vektor.

Ziehe aus dem Vektor die Zahl heraus.

Zu Punkt 2: Linearität (Verteilbarkeit)

Fall 1: Gleicher Koeffizient mit verschiedenen Vektoren

Bei der Vektoraddition kann der gleiche Koeffizient entweder einzeln mit den Summanden (= Vektoren) oder mit der Vektorsumme verknüpft werden.

Fall 2: Gleicher Vektor mit verschiedenen Koeffizienten

Eine weitere Eigenschaft der Linearität ist, bei der Vektoraddition eine Summe aus den verschiedenen Koeffizienten und zu bilden. Die Voraussetzung ist, dass der Vektor gleich ist.

Zu Punkt 3: Neutrales Element

Das neutrale Element der Multiplikation eines Vektors ist die Eins.

Zu Punkt 4: Kommutativität (Vertauschbarkeit)

Die Koeffizienten können bei der skalaren Multiplikation beliebig vertauscht werden.

Vektoren können nicht dividiert werden.

Das skalare Produkt

Jedes Element wird einzeln Multipliziert (mit ):

Das skalare Produkt ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl zu.(geometrisch: Betrag von

in Richtung )

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• (umgekehrte-) Dreiecksungleichung

• Cauchy-Schwarze Ungleichung

•

Multipliziert werden die Komponenten des Vektors mit einer bestimmten reellen Zahl λ (griechisch lamda = lateinisches l). Sie heißt Skalar. Dadurch wird der Vektor verlängert oder verkürzt, aber nicht verschoben. Er könnte sogar zu 0 schrumpfen und damit ein Nullvektor werden.

Die jeweiligen Komponenten des Vektors v werden mit einer bestimmten Zahl mit dem griechischen Namen λ (Lamda) multipliziert.

Zeilenschreibweise

Mit Zahlen gespickt:

Die Länge des Vektors wird verdoppelt.

Spaltenschreibweise

Wer gerne einen lateinischen Buchstaben als Skalar bevorzugt, dem biete ich das lateinische l an.

Auch hier könnte man statt der Variablen l eine beliebige Zahl einsetzen. Wie man den Skalar benennt ist Geschmackssache. Der Skalar ist eine beliebige Zahl. Man kann ihn als Vergrößerungs- oder Verkleinerungsfaktor bezeichnen

Ein Skalar größer als 1 ist wie eine Lupe, die alles vergrößert. Der Vektor wird dadurch länger.

Ist er kleiner als 1, dann wird der Vektor kürzer. Denkt an die Prozentrechnung, z.B. 90 % ist kleiner als 100 %. Nur wird nicht das Prozentzeichen geschrieben, sondern 0,9.

Bei l=1 ändert sich gar nichts.

Mit Zahlen gespickt könnt ihr euch den Vektor wohl besser vorstellen.

Beispiel

Das ist der ursprüngliche Vektor.

Das ist die Länge des ursprünglichen Vektors.

Dieser Vektor wird gesteckt um den Faktor 2.

Die Länge des Vektorswurde verdoppelt. Die Koordinaten in x-Richtung und in y-Richtung wurden um den Faktor 2 verschoben.