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Basis von Vektoren finden

Definition

Ist U ein Unterraum der Dimension m und sind , …, m linear unabhängige Vektoren von U, so heißt eine Basis von U.

Unterraum:

Nullvektor

Die maximal mögliche Anzahl m voneinander linear unabhängiger Vektoren eines Unterraumes U von heißt Dimension von U,

Unterraum U der Dimension m, , seine Dimension ist unabhängig → Basis von U

keine Basis

Satz

U sei Unterraum der Dimension m mit Basis . Dann lässt sich jedes als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

(*) ,

wobei eindeutig bestimmt sind

Beweis

muss eine Linearkombination von sein, sonst wäre der -te linear unabhängige Vektor in U und

(**)

Wir bilden die Differenz von (*) und (**)

Aus der linearen Unabhängigkeit folgt

Die Basis eines Vektorraums zeichnet sich dadurch aus, dass die Basisvektoren jeden beliebigen Punkt im Raum erzeugen können. Sie besteht aus spezialisierten Vektoren von der Länge eins und haben eine bestimmte Richtung im Raum. Sie dimensionieren den Raum, geben ihm Dimensionen.

Der Vektor lässt sich durch seine Komponenten darstellen. Zusätzlich werden diese Komponenten im Raum ausgerichtet, was die Basisvektoren erledigen.

Der Vektor hat eine bestimmte Basis , was hier mit dem Buchstaben deutlich gemacht wird.

Die Basis besteht aus Basiskomponenten:

Die Anzahl der Basisvektoren kennzeichnet die Dimension des Raums. In unserem wahrnehmbaren Raum sind das drei Dimensionen, also drei Basiskomponenten.

Als Standard-Basisvektoren verwendet man oft die Einheitsvektoren , die paarweise senkrecht aufeinander stehen. Das entspricht anschaulich dem bekannten Koordinatensystem. Die Länge dieser Einheitsvektoren ist immer eins.

Menge:

Länge:

Ausrichtung:

Geometrische Betrachtung

Wir haben nur zwei Elemente (= Einheitsvektoren) in der Orthonormalbasis:

Die Einheitsvektoren stehen senkrecht aufeinander:

Der erste Einheitsvektor hat die Komponenten:

Der zweite Einheitsvektor hat die Komponenten:

Der Vektor hat zwei Komponenten:

Die Basis wurde explizit durch die beiden Einheitsvektoren dargestellt, siehe die rechte Seite der Gleichung.

Man multipliziert also die jeweiligen Komponenten mit den Einheitsvektoren, die ihnen dadurch eine bestimmte Richtung vorgeben.

Die -Richtung (nach rechts oder links) wird durch den Einheitsvektor vorgegeben. Die -Richtung (nach oben oder unten) wird durch den Einheitsvektor vorgeben.

Hier wird die -Richtung vorgegeben, weil die betroffene Komponente den Wert eins hat.

Hier wird die -Richtung vorgegeben, weil die betroffene Komponente den Wert eins hat.

Wenn du eine Komponente eines Vektors mit seinem Einheitsvektor multiplizierst, ändert sich nichts am Wert oder der Richtung (= Dimension im Koordinatensystem). Das gilt aber nur bei den orthonormalen Einheitsvektoren.

Nur die -Komponente „überlebt“.

Nur die -Komponente „überlebt“.

Länge (Pythagoras) des Vektors:

Beispiel

Die Linearkombination der Vektoren bilden.

Ausmultiplizieren.

Die Vektoren addieren.

Lösung:

Auf lineare Unabhängigkeit prüfen. Dazu müssen die Variablen , und gleich null gesetzt werden.

Es werden nur diese drei Komponenten gebraucht, nicht weniger, aber auch nicht mehr.