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Begriffe der Topologie

Bei den Begriffen taucht immer wieder die Menge U auf. Der Name dieser Menge ist abgeleitet von Umgebung. Er soll auf die Umgebung eines Punktes hinweisen. Der Buchstabe r ist ein Hinweis auf den Radius. Es handelt sich um dabei um ein dreidimensionales Gebilde in Form einer Kugel oder eines Balls.

Umgebung

Eine Menge U ist Umgebung eines Punktes x, wenn es ein Ball (r>0) um x, der vollständig in U liegt .

Innerer Punkt

Randpunkt

Ein Punkt x ist Randpunkt einer Menge U, wenn in jeder Umgebung von x ein Punkt innerhalb und ein Punkt außerhalb von U liegt (Der Punkt x zählt dabei mit!).

Umgekehrt heißt der PunktRandpunkt (engl.: boundary point) der Menge

, falls für alle ε > 0

und .

Die Menge aller Randpunkte heißt Rand und wird geschrieben als ∂M.

Wir betrachten einen metrischen Raum .

Der Rand einer Menge ist die Menge aller Punkte , für die jede offene ϵ-Kugel sowohl Elemente aus als auch Elemente aus enthält.

Offene Menge

enthält keinen seiner Randpunkte.

Abgeschlossene Menge

enthält alle seine Randpunkte.

Achtung: Für die Begriffe der Abgeschlossenheit kommt es wesentlich auf die Grundmenge an (sie definiert dir, welche Elemente existieren - Wenn zum Beispiel die Grundmenge ist, so musst du für die Aufgabe annehmen, dass es keine irrationalen Zahlen wie gibt).

[0,1) ist nicht offen bzgl. aber offen bzgl. [0,∞).

[0,1) ist nicht abgeschlossen bzgl. aber abgeschlossen bzgl. (−2,1).

Achtung 2: Es gibt Mengen die weder offen, noch abgeschlossen sind (Bsp.: die Menge [0,1) bzgl. ).

Es gibt Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind (Bsp.: die leere Menge ist in jeder Topologie offen und abgeschlossen).

Veranschaulichung Abbildung:

Die wichtigsten topologischen Begriffe

Überblick über die verschiedenen Arten von Räumen Abbildung:

Die verschiedenen Arten von Räume und ihre Verbindungen untereinander