• Startseite
• Inhalt
• Index

Beispiel 5: Wertebereiche einer Umkehrfunktion

Wertebereiche der Funktion

Input:

Der Nenner kann nie null werden. Bei ist . Die Nennersumme ergibt .

Der Inputbereich enthält alle reellen Zahlen.

Output:

Die Funktion ist monoton fallend. Wo sie sich an einen bestimmten Wert annähert, wird über den Grenzwert ermittelt.

a) Grenzwert nach

Der negative Exponent bei der -Funktion bedeutet:

Je größer der Nenner, umso kleiner wird der Quotient. Bei unendlich wird er schließlich zu null.

Null einsetzen.

b) Grenzwert nach

Minus mal Minus ergibt plus. Das Ergebnis wäre ein unbestimmter Ausdruck.

Das ist unbefriedigend. Also suchen wir eine Methode, um den Grenzwert zu umgehen. Das ginge, wenn wir den Exponenten „pulverisieren“ könnten. Wir multiplizieren einfach die -Funktion mit sich selbst, jedoch mit dem inversen Vorzeichen im Exponenten. Das „knockt“ dann den Exponenten down auf.

Den Bruch mit der gleichen -Funktion (aber mit inversen Vorzeichen im Exponenten) erweitern.

Ausrechnen.

Grenzwert einsetzen.

Terme mit negativem Exponenten in den Nenner bringen.

Grenzverhalten beachten.

Ergebnis:

Die Grenzwerte der Funktion liegen im offenen -Intervall . Das -Intervall ist offen, weil Unendlich keine angebbare Zahl ist.