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Beispiel einer DGL

Sie dienen zur Bestimmung der zeitlichen Entwicklung eines Systemzustands.

Beispiel

Auslaufender Flüssigkeitsbehälter

Zustand:

Höhe der Flüssigkeit im Behälter

Zustandsänderung:

Bestimmt durch Volumenstrom

Einerseits:

Der Volumenstrom ist das Volumen des Flüssigkeitsausflusses pro Zeiteinheit. Die Fläche wird mit der Höhenänderung multipliziert. Das ergibt das relevante Volumen. Das Minuszeichen zeigt den Abfluss an.

Andererseits:

Der Volumenstrom ist eine Funktion des Drucks . Wie stark der Druck ist, hängt von der Dichte der Flüssigkeit, der Erdbeschleunigung und der Höhe der Flüssigkeit ab.

Fall A: Zähe Flüssigkeit

Hier ist der Druck proportional zum Volumenstrom , was durch den Vorfaktor (Konstante) angedeutet wird.

Die beiden Funktionen des Volumenstroms und werden gleichgesetzt.

Zur Vereinfachung werden die Vorfaktoren zu einem Vorfaktor zusammengefasst.

Welche Lösungsfunktion hat ?

Fall B: Ideale Flüssigkeit

Hier ist der Volumenstrom von einer Kontanten und der Wurzel aus dem Druck abhängig. Das ist ein experimentelles Ergebnis.

Die beiden Funktionen des Volumenstroms und werden gleichgesetzt.

Vereinfacht mit einem zusammengefassten Vorfaktor :

Welche Lösungsfunktion hat ?

Berechnung Fall A:

Gegeben ist bei der Pegel Das sind die Anfangsbedingungen (Anfangswerte) des Systems.

Gesucht wird die Höhe zu Zeiten .

Finde die Funktion , derart dass

Um die Gleichung zu lösen, braucht man eine Funktion , deren Ableitung ergibt, etwa so:

Es bietet sich an, es mit der -Funktion zu versuchen und sie abzuleiten.

Die Ableitung von ergibt , aber nicht Gleichung mit ihrem negativen Vorfaktor. Also muss der Exponent noch erweitert werden, am besten gleich mit . Dann wird die Ableitung zu Gleichung führen.

Neue Funktion:

Ihre Ableitung ergibt nach der Kettenregel:

Der Vorfaktor „schluckt“ den Vorfaktor . Damit kann man leichter rechnen.

Die neue Funktion lautet nun:

Prüfe die Anfangsbedingung, indem du setzt.

Ausgangsgleichung:

Nach dem Einsetzen von :

Die Konstante kann einen beliebigen Wert annehmen, also auch den Anfangspegel . Die Forderung nach einer korrekten Anfangsbedingung ist erfüllt.

Statt der Konstanten kann jetzt der Anfangspegel benutzt werden.

Differenzialgleichung:

Prüfen, ob sie die Bedingungen und erfüllt.

Ableitung

Die Ableitung der Differenzialgleichung ergibt die Bedingung von .

Anfangsbedingung

Nach dem Einsetzen von null, ergibt sich der Pegelstand . Damit ist auch diese Bedingung erfüllt.

Zeichnung