Beispiele: Gradienten

Anzahl und Bezeichnung der Komponenten ist gegeben

Zwei Komponenten (Zahlen) in eckigen Klammern mit dem Einheitsvektor :

Gradient mit Index und :

Zwei Komponenten (Buchstaben) in eckigen Klammern:

Der Einheitsvektor wird stillschweigend vorausgesetzt, aber nicht geschrieben.

Drei Komponenten (Buchstaben) in eckigen Klammern und dem Einheitsvektor :

[image]

Ein Vektor kann partiell nach all seinen Komponenten abgeleitet werden. Bei einem dreidimensionalen Vektor heißen die Komponenten , und .

Diese Ableitung heißt Gradient. Er kann für einen vorgegebenen festen Punkt zahlenmäßig näher bestimmt werden.

Beispiel

Bei drei Dimensionen des Punktes entspricht :

, ,

Formel für den Gradienten

Die Punkte (Zahlenwerte) liegen im Intervall

[image]

Der letzte Eintrag des Vektors wird mit dem Index (Dimension) bezeichnet.

[image]

Beispiel

Gegeben sei ein Skalarfeld durch mit dem Punkt in der -Ebene mit kartesischen Koordinaten.

Skalarfeld:

Ableitung des Skalarfelds (Gradient):

Für den Punkt lautet der Gradientvektor:

(Oben rechts beim Vektor wird der Punkt angegeben.)

Nach der Ableitung:

Die Zahlen des vorgegebenen Punktes in die jeweiligen Komponentenvariablen und eingeben.

Gradientvektor im Punkt :

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