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Bestimmung der Drehmassen

Gegeben sei ein -Trägheitstensor:

Die Benennung der Indizes erfolgt nach bestimmten Regeln.

Die Diagonale hat immer gleiche Indizes , , .

Vorne im ersten Index (senkrecht) steht immer , , .

Der zweite Index (waagerecht) wird spaltenweise benannt nach der Reihenfolge , , .

Der Drehimpuls ist definiert als das Produkt des Trägheitstenors und der Drehgeschwindigkeit .

Beispiel

Ein Zylinder in einem kartesischen Koordinatensystem

Die Hauptträgheitsachsen fallen mit den Koordinatenachsen zusammen. Der Trägheitstensor ist dann diagonal.

In diesem Fall nimmt der Trägheitstensor eine sehr einfache Form an.

Die Rotationen um die Koordinatenachsen bestehen aus der Summe der einzelnen Rotationen um die jeweiligen Achsen. Die Einheitsvektoren verweisen auf die jeweilige Achse.

Komponenten:

Die Drehmassen werden in der Diagonalen des Trägheitstensor aufgelistet.

Beispiel

Wird der Zylinder in der -Ebene um gedreht, ist der Trägheitstensor nicht mehr diagonal.

Dann hilft eine geeignete Koordinatentransformation (Diagonalisierung), bei welcher der Trägheitstensor in einem anderen Koordinatensystem wieder Diagonalgestalt annimmt.

In diesem Fall muss das Koordinatensystem um um die -Achse gedreht werden. Dann werden die Koordinatenachsen dieses neuen Koordinatensystems sind wiederum die Hauptträgheitsachsen.

Der Drehimpuls soll bei einer Rotation um eine Hauptträgheitsachse parallel dazu sein. Andere Rotationen wären nicht stabil, d.h. es würde eine Drehkraft und damit eine Drehimpulsänderung geben.

Der Drehimpuls ist also proportional dem Trägheitstensor und der Drehgeschwindigkeit . Es soll kein Drehimpuls auftreten.

Für den Trägheitstensor wird eine neue Variable benutzt.

Nach Umstellung der Terme und Ausklammern der Drehgeschwindigkeit:

Komponenten:

Diese Gleichung hat für den Fall eines -Trägheitstensors drei Lösungspaare, nämlich (Drehmassen) und (Hauptträgheitsachsen).

Lösungsverfahren

Die Einheitsmatrix heißt . ist dann ein Polynom 3. Grades und somit
sind die Drehmassen die Nullstellen dieses Polynoms. Durch Bestimmung dieser Nullstellen werden also die Drehmassen gefunden.

Beispiel