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Das Kugelvolumen

Das Kugelvolumen ist abhängig vom Radius . Es ist dreidimensional, was sich an der dritten Potenz von bemerkbar macht.

Formel für das Kugelvolumen

Herleitung über die Integralrechnung

Man könnte eine Kugel in winzige Scheiben zerschneiden wie ein Stück Brot. Die Summe dieser winzigen Scheiben würde wieder das gesamte Volumen ergeben.

Für die Kugel stellen wir uns vor, dass die Scheiben rund wie ein Kreis sind. Ihre Höhen wachsen vom Rand hin zur Mitte, was vom Radius abhängt.

In der Zeichnung siehst du die Scheibe von der Seite. Sie hat die variable Höhe , die dem Radius der einzelnen Scheiben entspricht.

Nach einer weiteren Drehung der Scheibe wird klar, dass das rote Stück eine Kreisfläche mit der Breite darstellen soll.

Über den Satz des Pythagoras kannst du diese beiden Größen und in Beziehung setzen.

Der Radius ist der maximale Radius der Scheibe, während der variable Radius ist.

Der variable Radius kann bei in die Formel für die Kreisfläche eingesetzt werden. Die Fläche ist entscheidend von (Breite) abhängig.

Die einzelnen Scheibe mit der Breite müssen noch alle addiert werden, was die Integration macht. Hierbei wird die Fläche mit der Breite multipliziert, was das Volumen ergibt.

Beim Integrationszeichen steht oben links die Breite , mit der die Flächenformel hinter dem Zeichen multipliziert wird.

Ergebnis:

Die Terme in Einzelvolumina aufteilen und die Integrationsgrenzen je Term berücksichtigen.

Die Integrationsgrenzen einsetzen und die einzelnen Volumina ausrechnen.

Das Gesamtvolumen als Differenz der beiden Teilvolumina berechnen.

Hauptnenner bilden.

Das Volumen für die Kugel lautet: