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Determinante einer 3×3-Matrix

Definition

Es wird eine Zeile oder Spalte ausgewählt (in diesem Beispiel die dritte Spalte), dessen Elemente mit ihrer jeweiligen Unterdeterminante multipliziert werden. Die Unterdeterminante des jeweiligen Elementes wird gebildet, indem symbolisch die Zeile und Spalte, in denen sich das Element befindet, gestrichen werden. Die verbliebenen Elemente bilden die Unterdeterminante. Für das Element a₁₃ wird z.B. die erste Zeile und die dritte Zeile gestrichen, übrig bleiben die Elemente a₂₁, a₂₂, a₃₁ und a₃₂. Zusätzlich muss man noch die Regel beachten, dass wenn die Summe aus Zeilen- und Spaltenindex ungerade ist, das Produkt aus Element und Unterdeterminante mit Minus multipliziert werden müssen. Bei gerader Summe aus Zeilen- und Spaltenindex ist dies nicht nötig. Deshalb ist dies bei a₂₃ (2 + 3 = 5 = ungerade) nötig, bei a₁₃ (1 + 3 = 4 = gerade) hingegen nicht. Abschließend wird alles addiert.

Beispiel

wobei

Sarrussche Regel (nur für Determinanten 3. Ordnung)

Die oberen zwei Zeilen der Determinante werden unten nochmals wiederholt.

Die Determinanten zusammenfassen.

Achtung! Die mittlere Determinante wird subtrahiert.

Die Reihenfolge der Indizes liegt bei der ersten und der letzten Determinante vor. Sie heißt zyklisch. Bei der mittleren Determinante hingegen wird die Reihenfolge gestört. Sie heißt antizyklisch und führt zu dem negativen Vorzeichen.