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Die natürlichen Zahlen

Natürliche Zahlen sind alle Zahlen, die man mit den Fingern abzählen kann, bei 1 anfangen und unendlich weiter gehen. Die Null gehört nicht zu diesen Zahlen, es sei denn, alle Finger wären amputiert, aber dann kann man nicht mehr zählen. Spaß beiseite, die Null soll nicht dazu gehören. Nur was existiert, wird als zählbar angesehen. Das Nichts ist demnach nicht zählbar und wird nicht als “natürlich” vorhanden erachtet. Die natürlichen Zahlen haben immer Nachfolgezahlen, die sich zumindest um 1 unterscheiden. Eine gute Ordnung (Wohlordnung) ist bei ihnen erkennbar, was nicht nur Vorteile beim Rechnen hat,
sondern auch sonst im Leben nicht ganz unwichtig ist. Ein berühmter Mathematiker behauptete sogar “Gott habe die natürlichen Zahlen gemacht”, doch das ist Spekulation. Alle Zahlen beruhen auf einer menschlichen Abstraktion, angepasst
an die Bedürfnisse des Homo sapiens. Andere Tierarten hätten wahrscheinlich andere abstrakte Gebilde erfunden, die ihnen nützen und auf die Natur anwendbar sind.

natürliche Zahlen (mit 0)

Natürliche Zahlen

Die Menge ist die kleinste Menge reeller Zahlen mit folgenden Eigenschaften:

mit ist auch

Mengentheoretische Konstruktion von

Die Zahl 0 wird als leere Menge dargestellt.

Die Zahl 1 besteht aus der Vereinigung des Elements 0 mit einer Menge, die dieses Element 0 enthält

Die Null wird in den großen Klammern mit dem Zeichen für die leere Menge dargestellt.

Die Zahl 2 entsteht durch die Vereinigung der Zahl 1 mit

(i) wenn ,

dann

(ii) wenn , dann

Zur Erklärung: Für das Startelement, die „0“, ist die leere Menge gewählt worden.

Die „1“ ist hingegen die Menge, welche die leere Menge als Element enthält. Dies sind verschiedene Mengen, denn die leere Menge „0“={} enthält kein Element, wohingegen die Menge „1“={0} genau ein Element enthält.

Jeder Nachfolger ist vom Vorgänger verschieden, da die Nachfolgermenge ein Element mehr enthält als die Vorgängermenge, nämlich den Vorgänger selbst.

Existenz und Eindeutigkeit von

Die Nachfolgereigenschaft soll (psi) heißen. Der Nachfolger Y einer natürlichen Zahl wird ausnahmslos aus den natürlichen Zahlen X gebildet (siehe den Allquantor). Der Nachfolger Y besteht aus der leeren Menge. Wenn dann noch der Vorgänger X zu seinem Nachfolger Y gehört (), dann liegt eine Summe S mit der Vorgängerzahl vor.

Die Summe S wird immer sukzessive aus den Vorgängerzahlen gebildet.

Voraussetzung ist, dass genau eine Nachfolgerzahl (psi) eine natürliche Zahl ist. Dann haben wir beliebige Nachfolgermengen M, die in einer Beziehung zu den natürlichen Zahlen stehen, nämlich dass es eine einzige natürliche Zahl gibt, die eine Teilmenge dieser Nachfolgermengen M bildet.

Diese Formel besagt, dass es nur einen Nachfolger aus den natürlichen Zahlen geben soll. Jeder Nachfolger wird eindeutig durch eine natürliche Zahl ausgedrückt und nicht zwei oder mehrere. Das geht natürlich nur, wenn man die unmittelbaren Nachfolger betrachtet. Die Differenz muss 1 betragen.

Grundeigenschaften natürlicher Zahlen

1. Algebraische Eigenschaften

Kommutativgesetz („Vertauschung“)

Assoziativgesetz („Verbindung“)

Distributivgesetz („Verteilung“)

2. Ordnungseigenschaften

O1

O2

Auf den natürlichen Zahlen wird eine Ordnung folgendermaßen rekursiv definiert:

(Kleiner1)

(Kleiner2)

Die Funktion erzeugt natürliche Zahlen, die größer als die natürliche Zahl m sein sollen. Das bedeutet, dass die erzeugte natürliche Zahl m gleich oder kleiner als n ist.

Wenn man dies weiß, dann kann man sich behelfen, wenn natürliche Zahlen einmal durcheinander kommen (beispielsweise weil einem der Korb mit den natürlichen Zahlen auf den Boden gefallen ist).

Dieses Problem tritt beispielsweise auf, wenn man eine unsortierte Adressenliste im Computer hat und diese sortieren möchte. Computer repräsentieren Buchstaben als Zahlen, und für einen Computer ist das Sortieren einer Adressenliste gleichbedeutend mit dem Sortieren natürlicher Zahlen. (Man kann sich jetzt vermutlich darüber streiten, ob es nicht besser ordnen als sortieren heißen sollte. Man sortiert nämlich eher Socken gleicher Farbe. Aber das soll uns nicht stören.)

Natürliche Zahlen

inklusive 0

Addition: gegenüber der Addition abgeschlossen

Subtraktion: nicht abgeschlossen, es fehlen die negativen Zahlen