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Die reellen Zahlen

Der Begriff “Zahl” entstand im Altertum. Er wurde im Laufe der Jahrhunderte erweitert und stetig verändert, bis er schließlich den heutigen Begriffsumfang erhielt. Die Babylonier taten sich als Erste besonders hervor. Die Ägypter erreichten einen hohen Abtraktionsgrad in der Geometrie. Ihr mathematischer Kosmos war geprägt von geometrischen Formen,was sich in ihren grandiosen Pyramidenbauten manifestierte. Durch diese
Denkweise eingeschränkt kamen sie nicht über den Begriff der rationalen Zahlen hinaus. Obwohl ihre griechischen Erben das ägyptische mathematisches Wissen systematisch darstellten, was sich mit dem Namen Euklid verbindet, hatten sie einen Horror vor den irrationalen Zahlen, also Bruchzahlen, deren Nachkommawerte nie abbrechen und die nicht periodisch sind.

Selbst die gebildeten Griechen sträubten sich davor, aus dem alten geometrisch idealisierten Denkschema auszubrechen und auch andere Zahlen als die “normalen” Bruchzahlen (rationalen Zahlen) zu akzeptieren. Dies gelang erst zwei Tausend später
den anderen Europäern im Westen und in der Mitte Europas, die nicht so vorbelastet an die Sache herangingen.

Wir unterscheiden heute ganz verschiedene Zahlentypen, angefangen von den natürlichen Zahlen bis zu den komplexen Zahlen. Wer ernsthaft Mathematik betreibt, der sollte offen sein für neue Gedankenwege, sich nicht von Denkverboten einschränken lassen und nicht wie willenlose Sklaven ausgelatschte Wege beschreiten, vielmehr kreativ denken, neue Sichtweisen aufgreifen, auch wenn sie sich als Sackgasse erweisen sollten.

Solche Denkweise machen großes Vergnügen, schärfen den Verstand und bringen manchmal revolutionäre Neuerungen, was aber eher selten ist.

Achtung! Die Mathematiker lieben neue Begriffe. Um vernünftig mit den obigen Zahlen hantieren zu können, werden sie unter einem Übernamen, den reellen Zahlen zusammengefasst. Damit kann man schon eine ganze Menge anfangen und reichen aus, sich durchs Leben zu schlagen. Die reellen Zahlen kann man eindeutig auf einem Zahlenstrahl von -∞ bis +∞ darstellen. Sie bleiben eindimensional.

Reelle Zahlen

Eine Menge heißt Menge der reellen Zahlen, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

Kommutativität

Assoziativität

Neutrales Element bezüglich +

Es gibt ein Element mit und

Neutrales Element bezüglich •

Es gibt ein Element , so dass und mit

Inverses Element für Addition

, so dass

Multiplikativ inverses Element

, , , so dass

Distributivität

Anordnungsaxiome

In ist eine Beziehung „<“ definiert, a < b erfüllt:

Relationen

Für je zwei gilt genau eine der drei Beziehungen a < b, a = b oder b < a

Transitivität

Erweiterung

Wenn a < b so gilt:

Für „kleiner oder gleich“ schreiben wir „≤“, analog für „größer oder gleich“ steht „≥“.

Vollständigkeitsaxiom

Jede nichtleere nach oben geöffnete Menge aus besitzt ein Supremum aus .

Die Menge der rationalen Zahlen erfüllt das Vollständigkeitsaxiom nicht.

Beispiel

ist nach oben beschränkt durch 1,5. In hat kein Supremum, das muss sein. Es gilt .

Die reellen Zahlen können im Rechner nicht exakt dargestellt werden, sie werden mit Rekursionsgleichungen durch rationale Zahlen (beliebig gut) approximiert:

Addition: abgeschlossen

Subtraktion: abgeschlossen

Multiplikation: abgeschlossen

Division: ausser durch 0 sind alle durchführbar.

Radizieren: außer durch negative Zahlen sind alle durchführbar, für die Wurzel einer negativen Zahl müssen wir auf die komplexen Zahlen zurückgreifen