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Divergenz

Wenn der Gradient mit einem Vektorfeld multipliziert wird, so ist das Ergebnis ein Skalarfeld.

Diese Methode wird Divergenz genannt und ist ein Maß für das Auseinanderstreben (divergieren) der Vektoren in einem winzigen Bereich.

Sie ist das Skalarprodukt des Gradienten mit einem Vektor.

Beispiel

Stromfunktion

Gradient errechnen.

Physikalisches Beispiel:

Bestimmung der Quellen und Senken eines Strömungsfelds oder Flussdichtefelds.

Die Divergenz erlaubt eine Aussage über Quellen, von denen Vektoren ausgehen und Senken, zu denen Vektoren hinführen.

Die Vektoren zeigen in die Flussrichtung und ihre Länge steht für die Menge, die den betrachteten Bereich durchfließt.

Quellfrei

Gleichviele Vektoren durchfließen ein Gebiet, von links nach rechts

oder von rechts nach links.

Man bezeichnet ein Vektorfeld, dessen Divergenz null ist, als quellfrei. Hier ist für beliebige geschlossene Flächen der Fluss gleich null. Das bedeutet netto fließt nicht mehr heraus als herein. Es gibt also im Inneren des Volumens, das von der Fläche umschlossen wird, weder Quellen noch Senken.

Senke

Bei der Senke fließen mehr Vektoren in ein Gebiet hinein als heraus. Das Gebiet muss sich senken, wenn immer mehr in ihm abgeladen wird.

Eine deutliche Senke liegt vor, wenn alle Vektoren in das Gebiet strömen.

Quelle

Bei der Quelle strömen mehr Vektoren aus dem Gebiet heraus als herein. Das Gebiet wird entlastet.

Deutlich wird eine Quelle, bei der alle Vektoren aus dem Gebiet hinausströmen.

Divergenz (Auseinanderstreben)

Bei der Divergenz wird berechnet, um wie viele Einheiten sich die beteiligten Vektoren im Raum verlängern oder verkürzen. Dazu wird der Gradient auf die Funktion angewandt. Seine Komponenten werden mit den entsprechenden Komponenten eines gegebenen Vektors multipliziert. Die einzelnen Produkte werden dann addiert. Der Vorgang ist ein Skalarprodukt (inneres Produkt). Beachte das Multiplikationssymbol für diese Methode und das doppeltgestrichene für den Vektor.

Bei der Berechnung der Divergenz gibt es für die einzelnen Dimensionen eine eigene Funktion . Diese einzelnen Funktionen werden partiell nach der Variablen für die jeweilige Dimension abgeleitet.

In einem dreidimensionalen Raum sieht die Formel so aus:

Beispiel 1: Gegebener Vektor

Gegeben ist der Vektor

Die partiellen Ableitungen errechnen und die Summanden addieren.

Beispiel 2: Elektrisches Feld

Das elektrische Feld besteht aus Feldlinien. Wendet man den Gradienten auf dieses Feld an, werden die Feldlinien im Raum um bestimmte Strecken verlängert oder verkürzt, eben durch diesen Gradienten . Die Komponenten des Vektors werden verändert.

Das experimentelle Ergebnis lautet: . Was die Variablen und bedeuten, ist hier für die Demonstration der mathematischen Methode der Divergenz belanglos.