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Einführung und Grundbegriffe

Eine Gleichung, in der Ableitungen einer gesuchten Funktion auftreten, nennt man eine Differentialgleichung (abgekürzt: DGL).

Gewöhnliche DGL hängen von nur einer einzigen Variablen und ihrer ersten Ableitung ab.

Hängt hingegen die gesuchte Funktion von mehreren Variablen und deren partiellen Ableitungen ab, so liegt eine partielle Differentialgleichung vor.

Terminologie

Bei DGL heißen Funktionen allgemein immer , höchstens einmal oder .

Man kann sich im Zusammenhang mit DGL vieles im -Koordinatensystem veranschaulichen und sich die Funktionswerte als Werte auf der -Achse vorzustellen.

Beispiel

Eine einfache DGL ist

Sie wird durch Integration gelöst, also durch das Umkehrverfahren der Differenziation.

Integriere die DGL.

Ergebnis:

Beispiel

Ein lineares Federpendel wird durch folgende DGL beschrieben:

Erklärungen:

Die Feder wird horizontal bewegt.

Das Hookesche Gesetz beschreibt die Wirkung einer Kraft auf Körper, die elastisch sind. Nach einer Belastung durch Zug oder Druck kehren sie immer wieder in ihre ursprüngliche Lage zurück. Das kannst du gut bei Stahlfedern beobachten.

Die einwirkende Kraft ist immer proportional zur Auslenkung des Körpers.

Das Minuszeichen verweist darauf, dass es sich um eine Rückstellkraft handelt. Der Körper (Schwinger) will in seine ursprüngliche Form zurückgehen.

Wie groß die Proportionalität ist, hängt vom Material und der Form der Feder ab. Sie wird als Federkonstante bzw. Federhärte bezeichnet.

Wird das Hookesche Gesetz auf schwingende Körper angewandt, spricht man vom linearen Kraftgesetz, weil linear ist.

Immer wenn dieses gültig ist, liegt eine harmonische Schwingung vor.

Die Gewichtskraft wirkt der Rückstellkraft entgegen. Sie ist abhängig von der Masse m und der Erdbeschleunigung .

Die Beschleunigung ist eine Änderung der Ortsänderung (= Geschwindigkeit), also eine zweifache Ortsänderung, was der zweifachen Ableitung des Ortes nach der Zeit entspricht.

Lineares Kraftgesetz

Eine Feder, die durch ein Gewicht ein Stück weit nach unten gezogen wird, wird durch ihre Elastizität wieder nach oben gezogen. Dann schwingt sie immer wieder harmonisch um die Gleichgewichtslage. Daher auch der Name Federpendel.

Es gilt das lineare Kraftgesetz: 

Unbekannt ist hier die Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit . Um die DGL zu lösen, muss die Gleichung umgestellt werden, indem alle x-Variablen auf die linke Seite gebracht werden. Nach der Division durch ergibt das:

Der Vorfaktor bei kann vereinfacht werden durch .

Eine solche DGL hat die allgemeine Lösung, die man kennen muss.

Die Schwingungsdauer  ist abhängig vom Kreisumfang () und der Variablen (Federkonstante, Masse).

Das horizontal bewegte Federpendel wird durch die Zeit-Ort-Funktion beschrieben. Der Vorfaktor ist die örtliche Anfangsbedingung zur Zeit . Die Inputvariable ist die Wurzel auf dem Quadrat des Quotienten von .

Zeit-Ort-Funktion:

(Startauslenkung)

Bei der Startzeit wird der Cosinus eins und (Startauslenkung der Feder) bleibt übrig.

Erste Ableitung (Geschwindigkeit)

(keine Geschwindigkeit)

Bei der Startzeit wird , weil der Sinus von null auch null ergibt.

Zweite Ableitung (Beschleunigung)

Bei der Startzeit bleibt nur diese Gleichung übrig.

Kinetische Energie

Die allgemeine Formel für die kinetische Energie ist:

Setze die Gleichung der Geschwindigkeit
in die Formel ein.

Nach der Quadrierung setze (Federkonstante / Masse) ein.

Kürze . Nun ist die Formel für die kinetische Energie berechnet.

Beurteile die Formel. Bei ist der Sinus null. Damit gibt es keine kinetische Energie. Wenn die Zeit vergeht, kommt die Feder so richtig in Schwung durch einen quadratischen Sinus.

Berechnet die Spannenergie (Potenzielle Energie)

Um eine Feder mit der Federkonstante  um eine Strecke der Länge   zu spannen, benötigt man die Arbeit . Sie entspricht der Spannenergie.

Formel

Setze die Strecke in die Formel ein.

Ergebnis:

Beurteile die Formel. Bei ist der Cosinus eins. Damit ist schon eine potenzielle Energie vorhanden, die in der Feder verborgen ist. Sie ist umso größer, je stärker die Feder ist. Die Federkonstante ist dann sehr groß.

Die Einheit der Spannenergie ist das Joule . Ein elastischer Körper besitzt eine Spannenergie von , wenn der Körper die Federkonstante  hat und um eine Strecke der Länge  gedehnt oder gestaucht ist.