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Elementarrelationen

Es gibt verschiedene Elementarbeziehungen (Elementarrelationen).

Symmetrische Beziehung

Bei einer symmetrischen Beziehung sind die daran beteiligten Objekte vertauschbar.

Der Buchstabe R beschreibt, wie die beteiligten Objekte zueinanderstehen. Bei der Symmetrie ist es egal, von wo der Pfeil ausgeht. Das kannst du dir leicht bei Zwillingsbrüdern veranschaulichen. Jeder von beiden ist Bruder von dem anderen. Ein anderes Beispiel ist das Quadrat, dessen Seiten ja gleich lang sind. Bei Funktion muss sie bijektiv (zweipfeilig) sein. Man muss vom Input zum Output gelangen und umgekehrt, ohne dass Problem auftreten, also Unstimmigkeiten bei der Zuordnung jedes Elements aus beiden Mengen auftreten.

Asymmetrische Beziehung

Wenn kein Paar vertauschbar ist, liegt eine Asymmetrie vor. Eine solche Beziehung ist von der Reihenfolge der einzelnen Elemente abhängig.

Es ist bei der Uhrzeit nicht egal, ob es 15:10 Uhr oder 10:15 Uhr ist, ebenso beim Datum.

Identitive (antisymmetrische) Beziehung

Wenn für verschiedene und niemals und gleichzeitig gelten kann, wie z.B. kleiner-größer, liegt eine Antisymmetrie vor. Es gilt hier ein Entweder-Oder. Vollzieht man dennoch eine Zwangsheirat, folgt daraus, dass sich die Beziehung ändert und zur Gleichheit (identitive Beziehung) führt.

Prägnantes Beispiel:

Wenn die Variable kleiner oder gleich der Variablen ist, sowie umgekehrt, dann kann nur eine Gleichheit der beiden Variablen vorliegen. Du hast bestimmt die Kleiner-Größer-Beziehung bemerkt, aber auch eine zusätzliche Gleichheitsbeziehung, die hier zum Tragen kommt. Mit Hilfe dieser identitiven Beziehung kann man gut in Beweisen hantieren, wo die Gleichheit bewiesen werden soll.

Selbstbezogene (reflexive) Beziehung

Wenn für alle gilt , z.B. jemand hat am selben Tag Geburtstag oder Gleichheitsoperator .

Nicht-selbstbezogene (irrreflexive) Beziehung

Wenn für kein gilt . Es gibt keinen Selbstbezug.

Überspringende (transitive) Beziehung

Wenn aus und immer auch folgt, z.B. jemand ist älter als jemand anderes und dieser ist älter als ein Dritter . Diese Beziehung ist wie eine Kette, die über Glieder verbunden ist.

Beispiel für Beziehungen

Das ist eine Menge . Entnehme die Beziehungen zwischen den Punkten aus der Zeichnung:

Aus der Menge sollen paarweise Elemente gebildet werden. Das wird symbolisiert über den Exponenten . Man braucht nur die Pfeile verfolgen und ihre Verbindungspunkte angeben und in die Mengenklammern schreiben.