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Faktorisieren einer quadratischen Gleichung

Quadratische Gleichung ohne Koeffizienten beim

Faktorisieren bedeutet, aus einer quadratischen Gleichung Faktoren herauszuziehen, die in zwei Klammerausdrücke eingefügt werden sollen:

Die drei Punkte stehen für zwei noch unbekannte Summanden, abgekürzt .

Sie werden nach einem bestimmten Schema errechnet. Das zeige ich euch an einem einfachen Beispiel.

Beispiel

Gegeben ist diese Gleichung:

1. Um eine quadratische Gleichung zu faktorisieren, fängt man beim absoluten Glied an. Diese Zahl wird systematisch in Faktoren zerlegt. Das absolute Glied besteht aus den Faktoren:

oder

2. Dann summiert man die jeweiligen Faktoren des absoluten Gliedes c. Es gibt hier nur zwei Fälle.

Statt des Malpunktes schreibt man das Pluszeichen und rechnet die Summe aus.

3. Zum Schluss vergleicht man die ermittelten Faktoren und Summanden. Die Summe der Faktoren und das Produkt der Faktoren müssen aus den gleichen Zahlen bestehen und den jeweiligen Zahlenwert des Koeffizienten bzw. des absoluten Glieds ergeben.

Jetzt Zahlen für die Faktoren benutzen:

In unserem Beispiel haben die Summe der Faktoren und das Produkt der Faktoren dieselben Zahlen 3 und 5. Sie ergeben jeweils den Zahlenwert des Koeffizienten bzw. des absoluten Glied . Sie sind also die gesuchten Zahlen, die man in die Klammer einsetzt.

Probe

Berechnet die Klammer:

Ihr erhaltet als Ergebnis die quadratische Gleichung.

Jetzt schreibe ich das Ganze etwas allgemeiner ohne Zahlen.

Mit symbolischen Faktoren sieht das so aus:

Der Koeffizient besteht aus den Summanden . Das sind Zahlen. Das absolute Glied besteht aus den Faktoren. Das sind auch Zahlen. Die Summe der Faktoren und das Produkt der Faktoren müssen aus den gleichen Zahlen bestehen. Außerdem müssen sie jeweils den Zahlenwert des Koeffizienten und des absoluten Glieds ergeben. Das kann sein, braucht aber nicht zu sein. Manchmal lassen sich quadratische Gleichungen einfach nicht faktorisieren. Faktorisieren muss man üben. Es gibt knifflige Fälle, die auch ihr meistert, wenn ihr euch an die oben dargestellten drei Schritte haltet.

Beispiel

Gegeben ist diese Gleichung:

1. Das absolute Glied in Faktoren zerlegen und daraus Summen der Faktoren bilden. Das negative Vorzeichen muss berücksichtigt werden.

vergleichen mit Summe - (ungleich b)

vergleichen mit Summe (ungleich b)

vergleichen mit Summe (gefundene Lösung b)

vergleichen mit Summe (ungleich b)

Die Summe der Faktoren und muss den Zahlenwert des Koeffizienten ergeben.

Das Produkt der Faktoren und muss den Zahlenwert des Koeffizienten ergeben.

Wenn die ermittelten Zahlen in der Gleichung eingesetzt werden, ergibt das:

Die beiden Zahlen -3 und 5 sind die gesuchten Zahlen in den Klammern.

Probe

Richtig!

Quadratische Gleichung mit Koeffizienten beim

Manchmal ist das Leben schwer. Besonders, wenn die quadratische Gleichung einen Koeffizienten vor dem quadratischen Term hat. Dann muss man solange probieren, bis man am Ziel ist.

Man beginnt mit dem absoluten Glied und zerlegt es in Faktoren.

Diese Faktoren setzt man probehalber in die beiden Klammerausdrücke ein und multipliziert sie miteinander. Der Koeffizient des quadratischen Terms wird in die erste Klammer vor das geschrieben. In die zweite Klammer schreibt man nur .

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung:

1. Systematisch Faktoren von ermitteln:

oder
oder

oder

2. Der Schritt, die Summe der Faktoren zu bilden, entfällt, weil es einen Koeffizienten vor dem quadratischen Glied gibt.

3. Systematisch die Faktoren in die Klammern einsetzen und ausrechnen. Dann das Ergebnis mit der Ausgangsgleichung vergleichen:

Niete! Weiter probieren.

Niete! Weiter probieren.

Treffer, richtig!