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Faktorisieren

Faktorisieren bedeutet, aus einer quadratischen Gleichung Faktoren herauszuziehen, die in zwei Klammerausdrücke eingefügt werden sollen:

Die drei Punkte stehen für zwei noch unbekannte Summanden, abgekürzt .

Sie werden nach einem bestimmten Schema errechnet.

Der Koeffizient b besteht aus den Summanden . Das absolute Glied c besteht aus den Faktoren . Die Summe der Faktoren und das Produkt der Faktoren müssen gleich sein. Dann kann man die Gleichung lösen. Das kann sein, braucht aber nicht zu sein. Manchmal lassen sich quadratische Gleichungen einfach nicht faktorisieren. Faktorisieren muss man üben. Es gibt knifflige Fälle, die auch ihr meistert, wenn ihr euch an die oben dargestellten drei Schritte haltet.

Quadratische Gleichung ohne Koeffizienten beim x²

Gegeben ist diese Gleichung:

1. Um eine quadratische Gleichung zu faktorisieren, fangt beim absoluten Glied c an. Zerlegt diese Konstante c systematisch in Faktoren. Das absolute Glied c=15 kann aus den Faktoren 1, 3, 5 und 15 bestehen:

Das sind alle möglichen Faktoren von 15.

2. Dann summiert die jeweiligen Faktoren des absoluten Gliedes c.

Die Summen sind:

Es gibt hier nur zwei Summen.

3. Zum Schluss vergleicht die Produkte der jeweiligen Faktoren und Summen der Konstanten c=15. Die Summe muss gleich groß dem Koeffizienten b, der vor der Variablen x steht. Bei dem Beispiel ist b=8.

In unserem Beispiel haben die Summe der Faktoren und das Produkt der Faktoren dieselben Zahlen 3 und 5. Sie ergeben jeweils den Zahlenwert des Koeffizienten b bzw. des absoluten Glied c. Sie sind also die gesuchten Zahlen, die man in die Klammer einsetzt.

Probe

Berechnet die Klammer:

Ihr erhaltet als Ergebnis die quadratische Gleichung.

Beispiel

Gegeben ist diese Gleichung:

1. Das absolute Glied c = -15 in Faktoren zerlegen und daraus Summen der Faktoren bilden. Das negative Vorzeichen muss berücksichtigt werden.

Die Summe der Faktoren muss gleich dem Koeffizienten b sein. Dann ist die Gleichung faktorisierbar.

Die Lösung ist:

Probe

Richtig!

Quadratische Gleichung mit Koeffizienten beim x²

Manchmal ist das Leben schwer. Besonders, wenn die quadratische Gleichung einen Koeffizienten vor dem quadratischen Term hat. Dann muss man solange probieren, bis man am Ziel ist.

Man beginnt mit dem absoluten Glied und zerlegt es in Faktoren.

Diese Faktoren setzt man probehalber in die beiden Klammerausdrücke ein und multipliziert sie miteinander. Der Koeffizient a des quadratischen Terms wird in die erste Klammer vor das x geschrieben. In die zweite Klammer schreibt man nur x.

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung:

1. Systematisch Faktoren von c ermitteln:

2. Der Schritt, die Summe der Faktoren zu bilden, entfällt, weil es einen Koeffizienten a vor dem quadratischen Glied gibt.

3. Systematisch die Faktoren in die Klammern einsetzen und ausrechnen. Dann das Ergebnis mit der Ausgangsgleichung vergleichen:

Einsetzen von -1 und 8:

Dann ausrechnen

Niete! Weiter einsetzen.

Einsetzen von 1 und -8:

Dann ausrechnen

Niete! Weiter einsetzen.

Einsetzen von -2 und 4:

Dann ausrechnen

Treffer, richtig!

Quadratische Gleichung ohne erfolgreiche Faktorisierung

Hier zeige ich einen Fall, wo eine quadratische Gleichung sich einer Faktorisierung widersetzt. Die Koeffizienten passen einfach nicht.

Gegeben ist die Gleichung

Faktoren von c=8 ermitteln und die jeweiligen Summe der Faktoren bilden, dann Ergebnis vergleichen:

Keine der Summen ergibt den erforderlichen Zahlenwert b=10 des Terms 10x. Die Gleichung lässt sich also nicht faktorisieren.