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Fundierungsaxiom (Fun)

Fundierungsaxiom (Definition)

Es gibt keine bodenlosen Mengen. Ist eine nichtleere Menge, so gibt es ein mit .

Für keine Menge kann gelten.

Die „Russelmenge” ist nach den Axiomen keine Menge.

Fundierungsaxiom (Fund)

Es gibt keine bodenlosen Mengen. Ist eine nichtleere Menge, so gibt es ein mit .

Für keine Menge kann gelten.

Die „Russelmenge” ist nach den Axiomen keine Menge.

Jede nichtleere Menge A hat ein Mengenelement B, das mit der Menge A kein Element gemeinsam hat.

Vorne steht der Allquantor, der besagt, alle Mengen A haben die nun folgende Eigenschaft. Die Menge A ist nicht leer. Wenn dem so ist, dann gibt es eine andere Menge B, die in der Menge A enthalten ist. Und es gibt keine Elemente z, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B enthalten sind.

Das Axiom drückt aus, dass man Mengen nur aus bereits vorhandenen anderen Mengen konstruieren kann, nicht aber aus sich selbst. Die gleichen Mengen können nicht ineinander enthalten sein. Fremde Mengen können sehr wohl als Element in einer Menge enthalten sein. Das ist vergleichbar mit einem Atomkern, der aus Protonen und Neutronen besteht, diese wiederum aus verschiedenen kleineren Teilchen, den Quarks.

Die Menge B ist als Element in der Menge A enthalten. Ihre Elemente z sind aber nicht zugleich auch Elemente von A, gemäß dem Motto: Meine Freunde sind nicht deine Freunde. Sie sind nur Elemente der Menge B.

Es kann also in einer Menge A andere Menge B geben, die „Kuckucksei-Elemente“ z enthält, die jedoch nicht zu  A gehören.

Die „Russelmenge“   ist nach den Axiomen keine Menge.

Das Fundierungsaxiom heißt auch „Regularitätsaxiom“. Das heißt übersetzt: „ordnungsgemäßes Verhalten“, nämlich nur widerspruchsfreie Mengen zu bilden.

Damit niemand auf die Idee kommt, die Menge aller Mengen zu bilden, gibt es das Fundierungsaxiom (Fun). Danach kann zwar eine Menge Y Element von der Menge X sein, aber sie dürfen kein gemeinsames Element besitzen.

mit

Die Menge Y ist ein „großes“ Element von X. Die Menge Y selbst enthält ein eigenes Element y. Aber das Element y gehört nicht zur Menge X. Es ist praktisch vor X verborgen. Bitte nicht die Menge Y als Teilmenge deuten. Y ist nur ein Element, das jedoch noch andere Elemente enthalten kann, hier das Element y.

Der Name Fundierung rührt daher, dass durch dieses Axiom die Mengentheorie auf ein „richtiges Fundament“ gestellt wurde, damit Widersprüche ausgeschlossen wurden.

Die naive Vorgehensweise, eine Allmenge mit lauter Elementen aus sich selbst zu bilden, ist damit ausgeschlossen.

Macht euch das anhand eines prägnanten Beispiels klar.

Das soll eine Menge M sein. Könnten hierin nochmals ihre Elemente 1, 2, 3 enthalten sein? Was so aussähe (Das dürft ihr an der Uni so aber nicht schreiben):

Die Elemente 1, 2, 3 sollen nochmals in der gleichen Menge enthalten sein. Die Schreibweise sieht schon etwas komisch aus. Vor allem stößt sauer auf, dass für den gleichen Platzhalter M zwei recht unterschiedliche Eigenschaften (Aussagen) gelten sollen. Zumindest müssten hier verschiedene Platzhalter wie M₁ oder M₂ stehen, wenn man die Bildung einer Menge aus einer Menge mit ihren eigenen Elementen zuließe.

NEIN! Eine Menge kann nicht gleichzeitig Element von sich selbst sein, auch wenn man so jeck wäre.

Als Teilmenge wäre das problemlos möglich, aber als Element ginge das nicht, was ihr schon bei dem Versuch, eine solche Menge darzustellen, leicht erkennt.

Das ist echte Mathematik, man liest die Definition und entscheidet dann, ob alle Kriterien diese Definition bei einer Aufgabe erfüllt sind. Das macht man ja täglich, nur geschieht dies intuitiv und ist tausendfach eingeübt.

Jetzt kann euch keiner mehr was vormachen, was mit Mengen in der Mathematik gemeint. Ihr könnt einen Außenstehenden verblüffen, wenn ihr ihm erzählen, dass in einer Eierbox nicht 10 Elemente, sondern nur ein Element enthalten ist. Oder lieber darüber schweigen, sonst erlebt ihr ein wahres Wunder.