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Gaußsche Summenformel

Zu beweisen ist

1. Induktionsanfang: gilt

für die linke Gleichung.

Ebenso gilt für die rechte Gleichung.

Das Ergebnis ist 1=1. ü

Nach dem Einsetzen von 1 in die linke und rechte Gleichung ergibt das gleiche Ergebnis 1. Damit ist der Induktionsanfang bewiesen.

2. Induktionsannahme (IA): für jedes n gilt

Diese Gleichung soll allgemein bewiesen werden.

3. Induktionsschritt: für jedes n folgt

Man füge in die Gleichung der Induktionsannahme neben die Variable „n“ den Summanden „+ 1“ ein, was folgende Gleichung ergibt:

Statt nur „n“ steht hier nun „(n+1)“.

Jetzt zerlegt man das Summenzeichen in einen Teil, wo der Endwert der Summe „n“ ist und einen Teil, wo der Endwert „n+1“ ist. Das geht über eine Indexverschiebung.

Damit kann man schlecht rechnen, deshalb wird der Summenterm durch den rechten Term der Induktionsannahme ersetzt. Aus dem Term

wird dann der neue Term

Weiter mit Ausrechnen des Terms. Die beiden rechten Summanden n+1 auf den Hauptnenner 2 bringen.

Dann im Zähler faktorisieren mit (n+1).

ü

Das ist der Term hinter dem Gleichheitszeichen in der obigen Induktionsannahme, nur dass die Variable „n“ jeweils um 1 erhöht ist. Statt „n“ entdeckt ihr nun „(n+1)“. Aus dem Faktor (n+1) wurde nach dem Hinzufügen von 1 der neue Faktor (n+2). ∎