Gaußverfahren

Das Gaußverfahren ist eine geistige Herausforderung. Sein Ziel ist es, die Hauptdiagonale der Matrix mit Einsen zu füllen. Die Zahlen darunter sollen dann nur Nullen enthalten. Das geschieht durch geschicktes Subtrahieren, Vertauschen von Zeilen oder Multiplikation mit minus Eins.

1	0	1	0
1	0	0	1
0	1	0	1
0	1	1	1

Die erste Reihe (I) von der zweiten Reihe (II) subtrahieren, damit die zweite Zeile mit einer Null beginnt.

1	0	1	0
1-1	0-0	0-1	1-0
0	1	0	1
0	1	1	1

Ausrechnen. Ergebnis:

1	0	1	0
0	0	-1	1
0	1	0	1
0	1	1	1

Die zweite (II) und dritte Reihe (III) vertauschen, damit die dritte Zeile mit einer Null beginnt und die Hauptdiagonale der zweiten Zeile eine Eins erhält. Das ergibt:

1	0	1	0
0	1	0	1	mit getauscht
0	0	-1	1	mit getauscht
0	1	1	1

Die Hauptdiagonale soll nur positive Einsen enthalten, daher die dritte Zeile (III) mit -1 multiplizieren.

1	0	1	0
0	1	0	1
0	0		1
0	1	1	1

Ausrechnen. Ergebnis.

1	0	1	0
0	1	0	1
0	0	1	-1
0	1	1	1

Unterhalb der Hauptdiagonalen sollen nur Nullen stehen, daher die erste Eins in der vierten Zeile (IV) eliminieren. Von der vierten Zeile (IV) die zweite Zeile (II) subtrahieren.

1	0	1	0
0	1	0	1
0	0	1	-1
0-0	1-1	1-0	1-1

Ausrechnen. Ergebnis:

1	0	1	0
0	1	0	1
0	0	1	-1
0	0	1	0

Die unterhalb der Hauptdiagonalen stört und muss eliminiert werden. Daher von der vierten Zeile (IV) die dritte Zeile (III) subtrahieren.

1	0	1	0
0	1	0	1
0	0	1	-1
0-0	0-0	1-1

Ein doppeltes Minus führt zu Plus . Ausrechnen. Ergebnis:

1	0	1	0
0	1	0	1
0	0	1	-1
0	0	0	1

Alle Elemente der Hauptdiagonalen haben nun eine . Damit ist die Lösung erreicht.

Gaußverfahren

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