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Gedämpfte Schwingung beim Federpendel

Die gedämpfte harmonische Schwingung wird durch eine Schwingungsgleichung beschrieben.

Die Dämpfung beim Federpendel, das hoch und runter schwingt, steht in Wechselwirkung mit dem Medium, in dem es schwingt. Sie macht sich bemerkbar über eine Abnahme der maximalen Auslenkung einer Schwingung (Amplitude). Das ist der Abstand zwischen der -Achse und der Spitze der Schwingung (oben oder unten).

Die Luft bremst das Pendel ab, weil das Pendel die Luft verdrängt. Dies sorgt für Reibungsverluste, und das Federpendel wird abgebremst.

Die Luftreibung ist proportional zu der Geschwindigkeit  des Pendels. Die Geschwindigkeit ist eine Ortsänderung in einer bestimmten Zeit.

Die Dämpfungskonstante  ist abhängig von der Wechselwirkung zwischen dem Pendel und der Luft. Auch spielt die Form der Masse am Pendel eine Rolle. Je aerodynamischer die Pendelmasse ist, desto kleiner ist die Reibungskonstante.

In anderen Worten, je leichter die Luft verdrängt wird, desto kleiner ist der Einfluss der Luftreibung auf die Bewegung des Pendels.

Ein Pendel kann auch in einer Flüssigkeit (z.B. Öl oder Honig) schwingen. Eine Flüssigkeit lässt sich schwerer verdrängen als Luft, daher ist dort die Reibungskonstante größer. Die Flüssigkeit könnte auch so zäh (Viskosität) sein, dass eine Schwingung des Pendels gar nicht möglich ist.

Die Einheit der Reibungskonstante ist .

Bewegungsgleichung des Federpendels

Der Beschleunigungskraft wirkt nach unten über die Masse und die Erdanziehung . Sie ist die zweifache Ableitung des Ortes .

Die Spannkraft der Feder wirkt der Beschleunigungskraft über die Federkonstante entgegen.

Die Luftreibung wirkt ebenfalls der Beschleunigungskraft über die Dämpfungskonstante entgegen.

Formel:

Beschleunigungskraft = minus Federkraft minus Luftreibung.

Nach der Umformung:

Der Vorfaktor wird durch ersetzt.

Gedämpfte harmonische Schwingung

Der Vorfaktor bei wird durch ersetzt.

Wie löst man die gedämpfte Bewegungsgleichung?

Wir nutzen einen „Exponential-Ansatz“.

Setzt man den Ansatz in die gedämpfte Bewegungsgleichung ein, so erhält man:

Nun können wir den Term  kürzen:

Die quadratische Gleichung wird über die quadratische Ergänzung gelöst.

Binomische Formel bilden.

Wurzel ziehen.

Fallunterscheidung:

1. Keine Dämpfung:

2. Schwache Dämpfung:

3. Starke Dämpfung:

4. Grenzfall:

Fall a) Keine Dämpfung:

Nach Einsetzen von null.

Das ergibt zwei imaginäre Lösungen.

Jetzt brauchen wir eine Lösung der DGL. Wir nehmen an, dies sei die Lösung:

Behauptung:

In der Physik wird nur eine reelle Lösung gebraucht. Daher wird er der Realteil gesucht. Benutze die E-Identität (Euler).

Beim Imaginärteil interessiert nur der reine Zahlenanteil hinter dem Symbol . Der Imaginärteil ist dadurch auch etwas Reelles.

Prüfe, ob und Lösungen der DGL sind (durch Berechnung der Realteile). Über die E-Identität lässt sich sagen, dass sie beide Lösungen sind.

DGL

.

Wenn man etwas Komplexes in die -Variablen einsetzt, würden der Realteil und der Imaginärteil auf der linken Seite verschwinden.

Setze in die DGL ein.

Wenn der Realteil und der Imaginärteil auf Null gesetzt würden, würde also auch der Realteil verschwinden.

Die Realteile können einzeln bestimmt werden. Der Realteil einer Summe ist gleich der Addition der einzelnen Realteile.

Die Vorfaktoren und sind alle reell.

Die Vorfaktoren werden nach vorne gezogen. Der Realteil der zweiten Ableitung ist das Gleiche wie die zweite Ableitung des Realteils von .

analog.

Allgemeine Lösung

Fall b) Schwache Dämpfung