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Geometrische Integralberechnungen

Die folgenden Beispiele sind gedacht als Eingewöhnung in die Integralrechnung. Ich fange zuerst mit der geometrischen Betrachtung der Integralrechnung an. Später erkläre ich die algebraische Lösung von Integralen. Es ist ganz wichtig, zu verstehen, was hinter dem Formelapparat der Integralrechnung steckt. Nur Formeln auswendig zu lernen und sie richtig anzuwenden, reicht nicht aus, ein guter Mathematiker zu werden. Dann ist man nur ein guter Praktiker.

Aufgabe 1

Berechnet die Fläche dieses Rechtecks:

Das ist simpel. Nach der Formel für die Rechteckfläche ist das .

Ihr sollt das auch als Integralfunktion ausdrücken.

Die Grenzen a und b sind leicht anzugeben. Die Funktion ist eine Konstante, also , was hinter das Integralzeichen gesetzt wird. Die obligatorische Endung darf nicht fehlen. Sie entspricht hier genau der Breite . Setzt man anstelle von die Zahl , dann ergibt sich das Produkt von alleine.

Aufgabe 2

Berechnet die Fläche dieses Rechtecks:

Ups, nun ist auf der -Achse keine Zahl, sondern der Buchstabe vorhanden. Das stört aber nicht weiter. Gehen wir einfach wie beim Beispiel 1 vor. Die Integralfunktion ist:

Der -Wert ist , während der -Wert ist. Wir brauchen bloß wieder beide Werte miteinander multiplizieren, was ergibt.

Aufgabe 3

Berechnet die Fläche dieses Rechtecks:

Es wird etwas aufwändiger mit der Bestimmung des Abschnitts auf der -Achse zwischen den Endpunkten und . Es ist eine Differenz.

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt . Das ist das Ergebnis unserer Flächenberechnung, das wir hinter das Gleichheitszeichen bei der Integralfunktion setzen können.

Das können wir so stehen lassen. Wie groß nun und in Zahlen sind, ist unwichtig. Wenn sie bekannt wären, bräuchte man sie nur anstelle der betreffenden Buchstaben einsetzen.

Aufgabe 4

Berechnet die Fläche dieses Rechtecks:

Uff, was ist denn das? Wer genau hinschaut, erkennt ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Flächeninhalt ja bekannt ist, nämlich die Hälfte einer Rechteckfläche. In unserem Beispiel liegt sogar ein Quadrat vor, denn a liegt sowohl auf der x-Achse als auch auf der y-Achse. Die Formel für die Flächenberechnung ändert sich dadurch nicht grundsätzlich. Die Fläche dieses Dreiecks beträgt dann die Hälfte einer Quadratfläche, also . Dies ist schon das Ergebnis unserer Berechnung.

Die Integralfunktion ist

Eine Differenz wie bei Beispiel brauchen wir nicht zu berücksichtigen, weil der erste Endpunkt auf der -Achse bei beginnt. Die Winkelhalbierende hat also die Fläche .

Aufgabe 5

Berechnet die Fläche dieses Rechtecks:

Das ist gemein, nicht wahr? Jetzt taucht doch die Differenz auf der -Achse auf. Also benutzen wir auch die Differenz und formulieren die Integralfunktion um:

Das Integral wird aufgeteilt in zwei Integrale. Zuerst wird die Fläche von den Endpunkten bis errechnet. Diese Fläche wird um die vordere Fläche von den Endpunkten bis vermindert.

Gesamtfläche von bis

Vordere Fläche von bis

Die Gesamtfläche einfach um die vordere Fläche vermindern. Das ist die Lösung. Das bedeutet, man errechnet die quadratische Gesamtfläche von bis und teilt sie durch .

Ebenso errechnet man die quadratische Fläche von bis und teilt sie ebenfalls durch , um die Fläche der jeweiligen Dreiecke zu erhalten.

Die Fläche zwischen den Endpunkten a und b beträgt

Das kann man so stehen lassen. Fertig.