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Geometrische Interpretation

Geometrische Definition

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ordnet zwei Vektoren wieder ein Element des Vektorraums zu.

Formel:

In der Formel wird auch angegeben, dass der resultierende Vektor senkrecht auf der aufgespannten Ebene steht. Zusätzlich bildet er ein Rechtssystem (Rechtsschraube) . Ein Linkssystem hätte ein negatives Vorzeichen.

Ein Rechtssystem liegt vor, wenn der Vektor auf den Betrachter und dieser beim Kreuzprodukt als erster Faktor benutzt wird. Dann zeigt der Produktvektor nach oben.

Rechtssystem

Ein Linkssystem liegt vor, wenn der Vektor auf den Betrachter, aber der andere Vektor als erster Faktor benutzt wird. Dann zeigt der Produktvektor nach unten.

Länge des Produktvektors

Vorbemerkung: Der Gebrauch des Sinus hängt mit der Berechnung der Fläche eines Parallelogramms zusammen.

Der Betrag des Vektors mit dem Sinus ergibt dessen Höhe.

Die Multiplikation der Grundseite (= Betrag von Vektor ) mit der Höhe ergibt die Fläche des Parallelogramms, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird.

Fall A: Parallele Vektoren

In diesem Fall ist der Winkel zwischen ihnen null.

Der Sinus ist die Senkrechte in einem Einheitskreis. Bei null Grad gibt es keine Senkrechte.

Fall B: Senkrechte Vektoren

In diesem Fall ist der Winkel zwischen ihnen Grad.

Der Sinus ist die Senkrechte in einem Einheitskreis. Bei Grad beträgt seine Größe eins.

Eigenschaften des Vektorprodukts:

Mengen:

Funktion:

1) Anti-Kommutativität

Die Richtung des Produktvektors hängt von der Reihenfolge der Faktoren ab.

Linkshändige Orthonormalbasis:

Die Reihenfolge der Indizes entscheidet über das Vorzeichen.

Rechtssystem (zyklisch):

Hier kann man die Indizes, beginnend mit eins, weiter in der gewohnten Reihenfolge zwei und drei weiterzählen. Das ist eine rechtshändige Orthonormalbasis.

Einheitsvektoren Reihenfolge

Linkssystem (antizyklisch):

Hier kann man die Indizes, beginnend mit eins, nicht in der gewohnten Reihenfolge zwei und drei weiterzählen. Das ist eine linkshändige Orthonormalbasis.

Einheitsvektoren Reihenfolge

2) Homogenität

Ein Vorfaktor kann zunächst mit dem ersten Vektor multipliziert und dann das Kreuzprodukt errechnet werden.

oder:

Ein Vorfaktor kann auch mit dem zweiten Vektor multipliziert und dann das Kreuzprodukt errechnet werden.

Der Vorfaktor wird also nur mit einem der beiden Vektoren multipliziert.

3) Distributivität

Die Summanden von Vektoren werden einzeln mit dem dritten Vektor kreuzmultipliziert.

Ein Vektor kreuzmultipliziert die einzelnen Terme einer Summe von Vektoren.

4) Nullvektor

Ein Vektor, der mit sich selbst kreuzmultipliziert wird, erzeugt den Nullvektor.

Zwei Vektoren können durch Parallelverschiebung eine Ebene aufspannen. Es gibt ein mathematisches Verfahren, die Fläche über Vektoren zu berechnen, das Kreuzprodukt. Beim Kreuzprodukt wird der Flächeninhalt durch die Länge eines Vektors angegeben, der senkrecht auf dieser Fläche steht.

Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht der Länge des senkrechten Vektors.

Definition des Vektorprodukts mittels der Vektorkomponenten

Fläche des Parallelogramms:

(Grundseite mal Höhe.)

Die Länge der Höhe ergibt sich aus der Definition des Sinus.

Benutze die Variablen der Zeichnung:

Die Höhe ist also gleich der Länge der Hypotenuse mal dem Sinus.

Die Fläche des Parallelogramms ergibt sich durch Einsetzen von :

Das Kreuzprodukt mit Betragsstrichen sieht so aus:

Beispiel

Die dritte Komponente ist null, weil nur eine Fläche vorliegt. Man kann sie bei der weiteren Rechnung ignorieren.

Berechnung in drei Schritten:

1) Beträge errechnen:

Formel:

(Pythagoras der Komponenten)

2) Skalarprodukt errechnen (wird für den Winkel gebraucht):

Formel:

(Addition der Komponentenprodukte)

3) Winkel berechnen:

Formel:

(Skalarprodukt dividiert durch das Produkt der Beträge)

4) Kreuzprodukt (Fläche des Parallelogramms) errechnen:

Formel:

(Werte in die Formel einsetzen)

Die Fläche hat 23 Flächeneinheiten.