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Gradienten-Matrix (Jakobi-Matrix)

Die Funktion ist genau dann stetig in , wenn alle Komponentenfunktionen stetig in sind. Alle Komponentenfunktionen können die -dimensionalen Gradienten bilden:

Erläuterungen:

Der linke obere Index ist die Nummer der Funktion. Dach folgt der Gradient mit der Ableitung der jeweiligen Komponente (Dimension in einem Vektor). Die letzte Komponente ist das . Die letzte Funktionennummer ist .

Alle Gradienten sind Vektoren des . Schreiben wir die Gradienten als Zeilen in eine Matrix mit Zeilen (Nummer der Funktion) und Spalten (Komponenten), so erhalten wir die sog. Gradienten-Matrix (Jacobi-Matrix).

Mit dem Zeilenintervall und Spaltenintervall .

Für die Dimensionen hat die Gradienten-Matrix nur eine Zeile und Spalte, also nur den einen Eintrag .

Im Kurvenfall (Spalte eins) stimmt die Gradienten-Matrix mit dem Tangentialvektor von an der Stelle überein.

Im Fall m = 1 (Zeile eins) einer reellwertigen Funktion enthält die Gradienten-Matrix die Gradienten von an der Stelle .

Richtungsableitung

Bei der Richtungsableitung wird der Gradient für die Richtung von der Länge eins berechnet.