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Gradientenvektor

Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung dieser Funktion an. Der Gradient ist ebenfalls eine Ableitung, jedoch in allen Dimensionen der Funktion . Er gibt die Richtung des steilsten Anstiegs einer Funktion an.

Gradientenvektor als Richtung des steilsten Anstiegs (rote Pfeile) einer Funktion (blauer Graph)

Durch das Einsetzen von in die Inputvariablen der abgeleiteten Funktionen ergibt sich ein reiner Zahlenwert, der Gradient. Der Index gibt die jeweilige Dimension (Komponente) der Funktion an.

Gradienten werden in einem Gradientenvektor zusammengefasst. Die Notation ist wie beim Zahlenvektor.

Formel für den Gradienten

Die Punkte (Zahlenwerte) liegen im Intervall

Der letzte Eintrag des Vektors wird mit dem Index (Dimension) bezeichnet.

Die Wahl des Variablennamens ist frei.

Merke!

Der Gradient ist ein Spaltenvektor, dessen Einträge die ersten partiellen Ableitungen der Funktion  sind. Sie wird nach den  verschiedenen Variablen abgeleitet, wobei die Inputvariablen auf null gesetzt werden.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion:

Diese Funktion enthält zwei Inputvariablen, das und das . Sie ist also zweidimensional. Sie kann also Funktionenvektor geschrieben werden.

Berechne den Gradienten.

(Kettenregel bei der Ableitung benutzen.)

(Null bei den Inputvariablen und einsetzen.)

Ergebnis:

Der Gradient ist also ein reiner Zahlenvektor.

Vom Ursprung  ausgehend steigt die Hügellandschaft in Richtung des Vektors  am stärksten an.

Beispiel

Wir betrachten das elektrische Potenzial  im Inneren eines Plattenkondensators.

Es gibt an, wie viel potenzielle Energie eine Ladung im elektrischen Feld hat. Dadurch kann ein Körper Arbeit verrichten.

Die beiden Platten sollen dabei die Fläche   besitzen. Die eine Platte steht in der --Ebene, während die andere in -Richtung (waagrecht) dazu verschoben ist.

Der Kondensator hat die Ladung  mit der Influenzkonstanten . Für das elektrische Potential  im Inneren der Platten gilt dann:

Das Potenzial wird nur in der -Richtung ausgeübt. Die anderen Richtungen sind null, weil sich deren betroffene Platte (links) ja stillsteht.

Der Gradient dieser Funktion gibt die Richtung des steilsten Anstiegs an:

Die Ableitung von ist , eine Konstante. Hier kann man keine einsetzen.

Ergebnis:

Das elektrische Potenzial  des Plattenkondensators steigt in -Richtung am stärksten an und zwar mit den gegebenen Werten der elektrischen Ladung, der Influenzkonstanten und der Fläche.

Da die elektrische Feldstärke  der negative Gradient des elektrischen Potenzials ist, zeigt dieses hier in negative -Richtung.

Der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstiegs des Zahlenfelds an. Seine Aufgabe ist die Ableitung einer Funktion in den vorgegebenen Dimensionen. In der Zeichnung sind es drei Dimensionen.

.

Definition als Skalarfeld

Länge des Gradienten

Die Länge wird nach dem Satz des Pythagoras über die Addition der quadrierten Komponenten und anschließender Radizierung berechnet.

Der Gradient ordnet einem Skalarfeld, welches naturgemäß keine Richtung aber eine Ortsabhängigkeit hat, ein Vektorfeld zu. Die Ortsabhängigkeit wird durch die Koordinatenachsen dargestellt. Das Vektorfeld zeigt dann die Richtung der größten Zunahme des Skalarfelds (= der Temperatur) an.

Die Pfeile geben durch ihre Richtung an, wo die höchsten Temperaturen zu erwarten sind und durch ihre Länge, wie hoch diese dann sind.

Wie du siehst, ist im Koordinatenursprung eine Höchsttemperatur von zu erwarten.