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Gruppen

Eine Menge von Elementen heißt Gruppe:

Für je zwei Elemente p und q gibt es ein Produkt

Es gibt mindestens ein rechtsseitiges Einselement e mit

Zu jedem Element p gibt es mindestens ein rechtsseitiges Inverses mit

Für je drei Elemente p, q, r gilt das assoziative Gesetz

Erklärungen:

Zu 1: Das Produkt

Der Leser möge sich ein Mengenprodukt vorstellen, also eine Verknüpfung von zwei Mengen und , eine links, nämlich die Menge und eine unten, die Menge . Alle Elemente aus den beiden Mengen sind systematisch miteinander verknüpft und bilden jeweils ein Paar, wie schöne Hochzeitspaare, ziemlich polygamische sogar.

Da sehen Sie die einzelnen Paare P(1,1), P(2,1), P(3,1), in der unteren Reihe direkt über dem . Darüber in der nächsten Reihe befinden sich die Paare P(1,2), P(2,2), P(3,2).

Dieses Mengenprodukt wird mit dem Kreuz symbolisiert . In der Geometrie wird so ein Rechteck erzeugt, also Breite A mal Höhe B oder . Während bei dieser Rechnung die Zahl 6 den Flächeninhalt widerspiegelt, ist sie in der Mengenlehre die Anzahl der verknüpften Paare.

Eine algebraische Gruppe muss unbedingt das Kriterium des Mengenprodukts aufweisen. Wenn da eine Verknüpfung fehlt, liegt keine Gruppe vor.

Zu 2: Das Einselement

Dieses seltsame Wort bezeichnet das Element 1. Es hat nur den Inhalt 1. Dass es eine spezielle Bedeutung hat, ersehen Sie aus dem kleinen e in der Minigleichung . Dieses e nennt man auch das neutrale Element der Gruppe, denn es verändert das Produkt nicht im Geringsten. Ob man multipliziert oder , das neutrale Element macht das Produkt nicht größer.

„Rechtsseitig” bedeutet, dass das Einselement eben rechts neben einem gegebenen Element steht.

Zu 3: Das Inverse

Invers bedeutet anders herum oder umgekehrt. Man macht eine Aktion wieder rückgängig. Das Gegenteil der Multiplikation ist die Division. Die kann man auch so schreiben: . Der negative Exponent symbolisiert, dass die Basis p eigentlich in den Nenner soll.

Das ist hoffentlich noch aus fernen Schulzeiten bekannt.

oder

Die Zahl mit dem negativen Exponenten ist also das Inverse zur gleichen Zahl ohne diesen Exponenten. Wenn man gleiches durch gleiches dividiert, ergibt das immer 1 .

Zu 4: Das assoziative Gesetz

Durch eine Klammerung kann man erzwingen, was zuerst berechnet werden soll. Es gibt eine Priorisierung vor. Da kann sich keiner von außen vordrängeln. Innerhalb einer Klammer ist die Bindung eben ganz stark.

Egal, was hier zuerst ausgerechnet wird. Es kommt immer das Gleiche raus. Statt des Malpunktes möge sich der Leser auch das Mengenprodukt mit seinen vielen Paaren vorstellen, denn bei der Bestimmung einer algebraischen Gruppe kommt es aufs Rechnen gar nicht so sehr drauf an.

Die algebraische Gruppe kennen wir jetzt. Da mag sich der Leser fragen, warum unbedingt so viel Wert auf das „Rechtsseitige” gelegt wird. Wer aufmerksam gelesen hat, wird das Wort „mindestens” in diesem Zusammenhang bemerkt haben. Es ist im Grunde völlig egal, wo das Einselement steht, ob rechts oder rechts neben einem Element. Das betrifft gleichermaßen das Inverse. Es kehrt die Rechenoperation oder Verknüpfung nur um. Aus einsichtigen Gründen kann es nur ein einziges Einselement und ein einziges Inverses geben, denn auch mehrere Einselemente würden das Produkt nicht verändern und mehrere Inverse würden das Ergebnis wie ein Kippschalter nur hin- und herklappen, aber nichts Neues veranstalten.

Ordnung einer Gruppe

Was ist die Ordnung einer Gruppe?

Die Anzahl der Elemente einer Gruppe heißt Ordnung der Gruppe.

Hat eine Gruppe nur endlich viele Element, heißt sie endliche Gruppe. Das Gegenteil davon ist die unendliche Gruppe mit unendlich vielen Elementen.

Abelsche Gruppe

Was ist eine Abelsche Gruppe?

Eine Gruppe, deren Elemente vertauschbar sind (kommutativ) sind, heißt Abelsche} Gruppe.

Homomorphe Abbildung einer Gruppe

Was ist die homomorphe („ähnlichgestaltige”) Abbildung einer Gruppe ?

Die Abbildung einer Gruppe heißt homomorph, wenn der Funktionswert aus dem gemeinsamen Produkt von zwei Elementenund gleich ist dem Produkt ihrer jeweiligen Funktionswerte .

Isomorphe Abbildung einer Gruppe

Was ist die isomorphe („gleichgestaltige”) Abbildung einer Gruppe?

Die eindeutig umkehrbare Abbildung einer homomorphen Gruppe heißt isomorph.

Um Gruppen sinnvoll zu erklären, stelle ich die beiden Bedingungen vor:

• Eine Menge M

• Eine Operation , die auf zwei Elemente der Menge angewendet wird.

Lasst euch nicht durch das Glühbirnensymbol verwirren. Das ist nur ein Platzhalter für „irgendeine“ Operation (Addition oder Subtraktion, Multiplikation oder Division) stehen.

Beispiel

M soll die Menge der ganzen Zahlen sein.

M :=

Die Operation soll die Addition „+“ sein.

:=

Ihr setzt also statt der Glühbirne den allbekannten Operator „+“ ein.

Man könnte auch den Mal-Operator „.“ einsetzen.

Bedingungen für eine Gruppe

In einem Script „Diskrete Mathematik für Geraffte“ habe ich eine lustige Erklärung zu diesem Thema gefunden. Die beiden studentischen Autoren bringen es auf den Punkt.

„Aber natürlicher hat der fleißige Definiteur ein paar Fallstricke eingebaut, die der Gruppenbeweiser elegant umschiffen muss. Die Bedingungen, die zwingend erfüllt sein müssen, um eine Gruppe zu erhalten, sind

Abgeschlossenheit

Abgeschlossenheit bedeutet, dass jedes Ergebnis der Operation ein Element von M ist und nie außerhalb von M liegen darf.“ [Fan08, S. 14]

Wenn man also rechnet, dass muss das Ergebnis immer in der gleichen Menge bleiben wie die Ausgangsmenge. Bei den ganzen Zahlen darf deshalb nicht nach einer Operation z. B. eine rationale Zahl herauskommen. Sollte das dennoch der Fall sein, dann würde die Abgeschlossenheit verletzt, und es läge keine Gruppe vor.

Man braucht nur zu prüfen, bleibt das Ergebnis nach der Operation in der gleichen Menge „ja“ oder „nein“.

„Klammern sind egal

Auch unter dem Decknamen der Assoziativität bekannt, sagt dieses Bedingungchen aus, dass eventuell vorhandene Klammern frei gesetzt werden können und nichts am Ergebnis verändern.“ [Fan08, S. 14]

Der Begriff Assoziativität („Verflechtung”) hat etwas mit einer Priorisierung der Operation zu tun, was zuerst behandelt werden soll. Das ist wie auf dem Operationstisch in der Klinik, sollen erst die Mandeln entfernt werden oder die Galle. Die Klammern „(…)“ weisen hierzu den Weg, was zuerst zu tun ist.

Neutrales Element

„Von Profis auch gern die Schweiz der Menge genannt hat die Wirkung, dass es bezüglich der Operation und einem beliebigen Element aus der Menge keine Wirkung hat, d. h. das Ergebnis der Operation ist wieder das Element.“ [Fan08, S. 14]

Warum das neutrale Element die „Schweiz der Menge“ genannt wird, liegt an der Geschichte des kleinen Staates. Er hat sich aus den europäischen Kriegen geschickt rausgehalten, blieb immer politisch neutral. Während sich die anderen Staaten abschlachteten, vermehrten die Schweizer lieber ihr Geld auf den zahlreichen Banken. Sie sind eben talentierte Rechner.

Beispiel

Bei der Addition ist das neutrale Element die 0.

Bei der Multiplikation ist das neutrale Element die 1.

Inverses Element

„Der Rückwärtsgang unter den Elementen! Egal mit welchem anderen Element das inverse Element auf die Operation angewendet wird, es kennt nur ein Ergebnis: das neutrale Element.“ [Fan08, S. 14]

Damit kann man einfach feststellen, ob ein inverses Element vorliegt.

Beispiel

Bei der Subtraktion führt die Operation des inversen Elements zum neutralen Element 0.

Bei der Division führt die Operation des inversen Elements zum neutralen Element 1.

Kommutativität („Vertauschung“)

Diese Eigenschaft braucht nicht unbedingt zu einer Gruppe gehören. Wenn das dennoch der Fall sein sollte, dann nennt man die Gruppe „abelsch“.

Abelsche Gruppe

Eine abelsche Gruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe (G, *) für die das Kommutativgesetz gilt. Man kann also die Objekte dieser Gruppe beliebig vertauschen. An ihrer Struktur ändert sich dadurch nichts.

Das Eigenschaftswort kommutativ bedeutet „vertauschend“ (com- „mit“ und mutare „verändern“). Es besagt, dass man etwas vertauscht, also die Reihenfolge ändert. Bei der Multiplikation kann man die Anordnung der Faktoren beliebig vertauschen, ohne dass sich das Produkt dadurch irgendwie ändert. Diesen Vorgang nennt man kommutativ („vertauschend“). Das Gesetz dazu heißt Kommutativgesetz („Vertauschungsgesetz“).

1. Vertauschung von a und b:

für alle

Das Sternchen * soll eine Verknüpfung darstellen. Das ist in der Mathematik die Addition oder Multiplikation. Da setzt ihr statt des Sternchens das Plus-Zeichen bzw. den Malpunkt ein.

Um eine Gruppe als „abelsch“ zu bezeichnen, müssen noch zwei Eigenschaften erfüllt sein:

2. Neutrales Element (0 oder 1)

Das neutrale Element der Addition ist die 0, Nullelement genannt. Das neutrale Element der Multiplikation ist die 1, Einselement genannt. Neutral bedeutet, bei der Verknüpfung (Rechenoperation) ändert sich nicht das Ergebnis.

Multiplikation mit 0

Eine Zahl mit 0 (Null) zu multiplizieren ist ganz einfach. Das ergibt immer 0. Dabei ist es egal, welcher Faktor 0 ist. Das Produkt ist auf alle Fälle 0.

Das bedeutet ja nichts Anderes, als den Multiplikanden („erster Faktor“) 0 so und so oft zu addieren. Wo nichts ist, das wird auch ein Haufen lauter Nullen nicht größer. Oder anders ausgedrückt, des Kaisers neuen Kleider („Andersens Märchen“) bestehen aus Nichts, auch wenn die Höflinge einen Knick in der Optik haben und dem Kaiser etwas vorgaukeln.

Wenn der Multiplikator („zweiter Faktor“) 0 ist, dann braucht man deshalb kein Mal irgendeine Zahl addieren. Das ergibt natürlich auch 0.

3. Umkehrung der Verknüpfung („das Negative (Minus-Zahl)“, „das Inverse (Kehrwert)“

Ihr kennt ja auch die Subtraktion und die Division, was weiter nichts als die Umkehrung der Addition bzw. der Multiplikation ist. Auf Lateinisch sagt man dazu „Inversion“.

Das Negative einer additiven Verknüpfung wird mit dem Minuszeichen gekennzeichnet und zwar so:

-a

Aus der Addition ist eine Subtraktion geworden.

Das Inverse (der Kehrwert) einer Zahl a ist dann:

Die Zahl 0 ist allerdings als Inverse ausgeschlossen. Aus einer Multiplikation ist eine Division geworden.

Division durch 0

Die Division durch ein ganz wichtiges Thema der Mathematik. Wer das versucht, wird sein blaues Wunder erleben. Was heißt denn, durch 0 zu teilen? Das ist nichts Anderes, als überhaupt nicht teilen zu wollen. Wo kein Divisor ist, dann kann man auch nichts teilen.

Die obigen drei Eigenschaften prägt euch gut ein (Kommutativität, Neutrales Element und Inversion). Zu jeder (allgemeinen) Gruppe gehört auch noch die Assoziativität („Reihenfolge der Verknüpfungen“). Das bei der abelschen Gruppe nicht vergessen.

Die abelsche Gruppe wurde nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel benannt, der schon früh mit 27 Jahren an Lungentuberkulose verstarb. Schade.

Niels Abel (1802 – 1829)

Wörter für die Division: teilen, dividieren, halbieren, reduzieren um.