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Implizite Ableitung

Mit der impliziten Ableitung können mache schwierige Gleichungen leicht gelöst werden. Das ist der Fall, wenn der Logarithmus von oder Exponenten mit oder Potenzen von vorliegen.

Beispiel

In solchen Fällen erhält der -Term eine Spezialbehandlung.

Formal gesehen haben die impliziten Gleichungen die Form:

Das Fremdwort implizit bedeutet, dass der -Term in der Gleichung „mit enthalten“ ist. Er steht also nicht wie sonst üblich vor dem Gleichheitszeichen , sondern mitten drin in der Gleichung.

Die implizite Gleichung ist eine Nullfunktion, weil sie mit null gleichgesetzt wird.

Der -Term enthält eine „Überraschung“, was bei seiner Ableitung sichtbar wird. Dazu wird er anders notiert, nämlich . Er ist also von abhängig.

Bei der Ableitung wird dann die Kettenregel benutzt.

Formel:

Der Term wird nun analog nach dieser Kettenregel abgeleitet.

Die äußere Ableitung erfolgt nach den bekannten Ableitungsregeln.

Bei der inneren Ableitung braucht man nichts weiter zu tun. Man schreibt nur in die Gleichung.

Die Ableitung der Nullfunktion sieht schematisch so aus:

Alle Terme in der Gleichung werden abgeleitet.

Die Lösung der Gleichung ergibt sich durch Umstellen der Terme und Auflösen nach der inneren Ableitung .

Beispiel 1

Gesucht wird die Ableitungsfunktion   des natürlichen Logarithmus .

Nullfunktion vorbereiten.

|

Dazu muss die -Variable aus dem Logarithmus über die -Funktion „rausgeschält“ werden.

Der Logarithmus verschwindet also.

Nullfunktion durch Umformung bilden.

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Ableiten der Gleichung.

Kettenregel anwenden. Ausrechnen.

Funktion der Aufgabe einsetzen.

Ausrechnen. Die -Funktion und der Logarithmus zerstören sich.

Umformen und Ergebnis.

Beispiel 2

Differenziere

Nullfunktion vorbereiten.

Zunächst kann man durch Logarithmieren den Exponenten eliminieren.

|

Nullfunktion durch Umformung bilden.

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Ableiten der Gleichung.

Die Klammerung ist wichtig wegen dem negativen Vorzeichen.

Ausrechnen.

Funktion der Aufgabe einsetzen.

Umformen und Ergebnis:

Beispiel 3

Der Kreis mit Mittelpunkt  und Radius ist gegeben durch die Gleichung . Teile davon kann man als Graph einer Funktion  schreiben.

Nullfunktion vorbereiten. Für die Funktion nehmen.

Nullfunktion durch Umformung bilden.

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Ableiten der Gleichung.

Ausrechnen.

Funktion der Aufgabe einsetzen.

Umformen und Ergebnis.

Die Tangente am Kreis hat im Punkt  mit  die Steigung .