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Junktor

Boolsche Algebren

„Jede Aussage (bei uns handelt es sich stets um mathematische Aussagen) ist entweder wahr oder falsch, tertium non datur [„Ein Drittes gibt es nicht“]. Wenn die Aussage A wahr ist, so sagen wir auch, A sei richtig, oder A gelte.“ [Erw72, S. 15]

Die zweite wichtige Gruppe von Zeichen sind die Junktoren („Verbinder“) oder Verknüpfungszeichen genannt.

Die Junktoren sind

der Negator (lat. non)

der Konjunktor (lat. et)

der Disjunktor (lat. vel)

der Subjunktor (Pfeil)

der Bisubjunktor (Doppelpfeil)

Der Negator („Verneiner“) verneint Formeln. Das entspricht dem deutschen „nicht“. Eine Verneinung ist nicht als Gegenteil zu interpretieren. Auf Gegensätze kommt es in der Mathematik nicht an. Etwas zu verneinen bedeutet, dass alles das, was nicht eine bestimmte Formel ausdrückt, zu einer anderen Formel gehört.

Die Verneinung der Farbe „schwarz“ ist nicht etwa (nur) „weiß“, sondern kann jede beliebige andere Farbe sein, nur nicht „schwarz“. Hier bemerkt ihr deutlich, dass die Verneinung nicht das Gegenteil oder einen Gegensatz bedeutet.

Der Konjunktor („Verbinder“) verbindet zwei Formeln, was gewöhnlich mit „und“ bezeichnet wird.

Dieses Zeichen ist eine Konjunktion, eine Verbindung zwischen zwei Aussagen. Wenn die beiden Aussagen zutreffen, dann trifft die Gesamtaussage auch zu. Sie müssen immer gleichzeitig zutreffen oder wahr sein, ansonsten ist es Essig mit der Gesamtaussage. Dann trifft sie nicht zu. Ein fehlendes Glied in der Kette macht die ganze Kette kaputt. So ist das auch mit der Konjunktion.

Merke: Eine Konjunktion wird nur wahr, wenn beide Aussagen wahr sind, also zusammen zutreffen.

Der Disjunktor („Auseinander-Binder“) wird in der Umgangssprache mit „oder“ bezeichnet. Es ist nicht ein „entweder – oder“, sondern ein „gemeinsames, einschließendes Oder“. Es genügt, dass nur eine der beiden Formeln „wahr“ ist. Wenn beide Formeln als „wahr“, bleibt es auch beim „wahr“.

Nur wenn keine der beiden Formeln „wahr“ ist, dann ist zappenduster, dann ist die Aussage „falsch“.

Die Disjunktion wird auch als „Alternative“ bezeichnet.

Der Subjunktor („Unter-Verbinder“) ist eine bedingende Aussage nach dem Schema „wenn – dann“. Er verbindet zwei Formeln in der Art, dass die erste Formel die Prämisse („Voraussetzung“) darstellt und die zweite Formel die Behauptung.

Eine witzige Subjunktion wäre:

„Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist.“

Die obige Aussage ist immer „wahr“, denn die Konklusion trifft immer zu. Sie hat keinen „Nährwert“. Man nennt sie auch Tautologie („immer wahre Aussage“).

Die Subjunktion heißt auch „Implikation“ („Verflechtung“).

„Für die Implikation A B hat man sprachlich die folgenden Wendungen:

‚aus A folgt B‚;

‚aus A schließen wir auf B‚;

‚wenn A gilt, so gilt B‚;

‚B gilt dann, wenn A gilt‚;

‚A gilt nur dann, wenn B gilt‚;

‚B ist notwendige Bedingung für A‚;

‚A ist hinreichende Bedingung für B‚. [Erw72, S. 16]

Diese Sprechweisen besagen immer das Gleiche. In Mathematikbüchern wird gerne von einer „hinreichenden Bedingung“ und einer „notwendigen Bedingung“ geschrieben. Mit diesen Floskeln braucht ihr euch nicht aufzuhalten. Sie zeigen nur die verschiedene Sichtweise der Implikation. Bei „hinreichend“ schaut man von A nach B. Bei „notwendig“ schaut man zurück von B nach A. Da werden ganz tolle Beispiele gebracht. Wichtig ist eigentlich nur die Blickrichtung. Und ganz wichtig ist:

Wenn A gilt, dann gilt B. Aber, umgekehrt gilt hier nur: Wenn B nicht gilt, dann gilt auch nicht A.

Nie darf man unbedarft schließen: Wenn B gilt, dann gilt auch A. Das stimmt häufig, aber nicht immer. Grund: Ganz verschiedene Voraussetzungen („Prämissen“) können zur Formel B führen. Wenn man zurück schließt auf A, dann muss man schon ganz geschickt sein, um die richtige Prämisse zu treffen.

Das spielt auch in die Funktionsbetrachtung der Injektion („Hineinwurf“) hinein, wo man eindeutig vom Wertebereich auf den Definitionsbereich zurückgehen muss. Da darf es keinesfalls zwei Zuordnungen (”Pfeile”) zum Urbild geben wie z. B. bei der Parabel („Nebeneinanderstellung von Kurven“)

Wenn z. B. der Wertebereich y = 4 ist, dann kann das Urbild (Definitionsbereich) x = 2 oder x = - 2 sein. Der Definitionsbereich ist nicht eindeutig. Er ist nicht injektiv („eindeutig hineinwerfend“).

Der Bisubjunktor („Zwei-Unter-Verbinder“) ist eine doppelt gebrauchte Subjunktion. Er wird in der Mathematik in der komischen Redewendung „wenn – dann und nur dann“ ausgedrückt.

Man wechselt hier die Wenn-Dann-Aussage von links nach rechts. Wenn die Formel A gilt, dann gilt die Formel B, und wenn die Formel B gilt, dann gilt die Formel A. Der doppelte Pfeil symbolisiert das gut.

„Die Aussage und , die man kurz in der Form niederschreibt, heißt Äquivalenz von A und B. Sprachlich drückt man sie in einer der folgenden Formen aus:“

‚B gilt genau dann und nur dann, wenn A gilt‚;

‚B gilt genau dann, wenn A gilt‚;

‚B ist notwendig und hinreichend für A‚.“ [Erw72, S. 17]

Die Sprechweise „notwendig und hinreichend“ klingt „beknackt“. Ich bevorzuge „ist äquivalent (gleichwertig) zu“. Beachtet die Blickrichtung: B gilt genau …