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Kartesisches Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem besteht aus:

• Ursprung

• Orthonormalbasis des euklidischen Vektorraums

Jeder beliebige Punkt kann hierin durch einen Ortsvektor „anvisiert“ werden. Der Ortsvektor besteht aus drei Komponenten , und , die auch die Dimension angeben. Sie heißen auch Tupel.

Vom Ursprung wird der Punkt erreicht.

Die Achsen des Koordinatensystems stehen senkrecht (orthogonal) aufeinander.

Der Einheitsvektor hat in allen Dimensionen die Länge eins.

, wobei

Der Index liegt im Intervall von bis , d.h. es liegen drei Dimensionen vor.

Der Abstand zweier Punkte wird über den Satz des Pythagoras berechnet.

Das rechtwinklige Dreieck hat eine Ankathete (unten) und eine Gegenkathete (oben). Der Abstand der beiden Punkte und beträgt:

Die Längen der beiden Katheten erhältst du, indem du jeweils die -Werte bzw. -Werte bei den Punktangaben subtrahierst.

Beispiel

und

Die Längen der Katheten sind:

Abstand der Punkte:

Den obigen Sachverhalt berechne ich nun vektoriell. Das bedeutet, ich brauche Vektoren. Sie sind ja nicht mit den Punktangaben identisch. Daher kann ich nicht einfach die Zahlen blindlings übernehmen.

Den Vektor nenne ich . Er hat die Komponenten und . Seine Länge nenne ich (Kleinbuchstabe).

Die Größe der Komponenten entspricht den oben angegeben Delta-Größen.

An diesem Beispiel erkennst du den Riesenunterschied zwischen einem Punkt und einem Vektor. Ein Vektor trägt demnach „kleine Strecken im Bauch“.

Kar­te­si­sches (recht­wink­li­ges) Ko­or­di­na­ten­sys­tem

Die Lage eines Punktes im kartesischen Koordinatensystem ist abhängig von den drei Koordinaten. Es ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit den drei Achsen, deren Parallelen in einem Vektor münden.

Kar­te­si­sches (recht­wink­li­ges) Ko­or­di­na­ten­sys­tem

Man sieht die außen befindliche die -, - und -Achse. Innen liegend sind gestrichelte Strecken zu sehen. Sie stehen senkrecht zu jeweils einer der drei Achsen. Ihren Namen erhalten sie von der jeweiligen parallelen Achse. Der Punkt ist der Endpunkt eines Vektors . Das ist erkennbar an der Pfeilspitze. In ihr stoßen die parallelen Strecken zusammen. Der Vektor ist also nur abhängig von drei „Längen” (jeweils parallel zu den Achsen).

Zy­lin­der­ko­or­di­na­ten­sys­tem

Das Zylinderkoordinatensystem besteht aus einem „Rohr”, in dem es nur eine Parallele zur -Achse gibt. Der Vektor wird aus einem Flächenwinkel (-Achse) und der Länge zweier Strecken bestimmt, die senkrecht aufeinander stehen (-Achse). Wer also als Zauberer auftreten möchte, kann seine mathematischen Kenntnisse gut gebrauchen und die Position des Kaninchens, das er aus dem Zylinder hervorholt, gut bestimmen, ganz präzise, wissenschaftlich versteht sich.

Die Lage eines Punktes im Zylinderkoordinatensystem ist abhängig von einem Winkel , einer waagerechten Strecke und einer senkrechten Strecke .

Punkt ist anhängig von:

= Strecke = Azimutwinkel

z = Höhe

Zy­lin­der­ko­or­di­na­ten­sys­tem

Beim Zylinder gibt es einen Winkel zwischen der - und -Achse. Hinzu kommt noch die Länge der waagerechten (gestrichelten) Strecke . Darauf steht eine weitere (gestrichelte) Strecke in Richtung der -Achse, also nach oben. Die beiden Strecken münden im Endpunkt eines Vektors . Der Vektor ist also abhängig von einer waagerechten Strecke zwischen der - und -Achse, einem ebenen Winkel zur -Achse und einer senkrechten Strecke am Ende der Strecke .

Der ebene Winkel heißt Azimutwinkel (von arabisch as-sumut = „die Wege“). Das ist ein Terminus aus der Astronomie. Er bezeichnet einen Horizontalwinkel. Der Name der Strecke (-Achse) klingt in dem Begriff Zylinder an, der bekanntlich senkrecht auf den Kopf gesetzt wird, eine gute Merkhilfe.