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Kommutativer Ring

Definition

Gegeben sei eine Menge .

Wir nehmen an, es gibt in zwei spezielle Elemente, die 0 (Null) und 1 (Eins) heißen. Weiter soll es auf zwei Verknüpfungen “+” (plus) und “*” (mal) geben, die jeweils zwei Elementen x und y in neue Elemente x+y und x*y in zuordnen. Wir nennen einen kommutativen Ring, falls die folgenden Rechenregeln für alle x,y,z in gelten.

1. Kommutativgesetze

2. Assoziativgesetze

3. Distributivgesetze

4. Existenz von Neutralelementen

5. Inverses Element

zu jedem x gibt es genau ein y mit x+y=0. Schreibe

sind Beispiele für kommutative Ringe. ist kein Ring.

Falls nicht ausdrücklich verlangt wird, spricht man von einem nicht-kommutativen Ring.

Rechenregeln

In einem kommutativen Ring gelten folgende Rechenregeln:

• Klammern werden nur geschrieben wenn sie nicht durch die Assoziativität überflüssig gemacht werden.

aus x+y=x folgt y=0

0*x=0