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Komplement von Mengen (Ergänzungsmenge)

Komplementärmenge

Eine Menge, die kein Element enthält, heißt Leermenge.

Sei , dann heißt:

Komplement von bezüglich

Wenn klar ist, in welchen Raum wir arbeiten, so schreibt man kürzer .

Komplementärmenge
für ist

Beispiel

Die Grundmenge sei reell:.

Die inkludierte Menge habe das Intervall

.

Die negierte Menge ist:

Die Schranken drehen sich um, ebenso die Vorzeichen. Aus dem geschlossenen Intervall„[„ wird das offene Intervall „(“. Aus +a wird –a und aus wird . Da minus unendlich kleiner als a ist, wird es in der Klammer () links angeordnet. Beachtet, unendlich ist immer offen.

Das ist die Menge aller Objekte der Grundmenge, die keine Elemente von A sind. Diese Elemente gehören nicht zu A. Die Voraussetzung eines Komplements ist eine Grundmenge, in der die Menge A enthalten ist.

oder oder

sprich: „Komplement von A”.

Der Exponent c beim A ist der Anfangsbuchstabe des englischen Wortes „complement”. Eine andere übersichtlichere Schreibweise ist der Querstrich über dem A. Die Menge A wird dadurch negiert. Die Menge außerhalb von A ist dann die Menge A Strich. Beide Mengen gehören einer bestimmten Grundmenge an.

Bei der Mengenbildung gibt es durchaus schon eine Komplementmenge, die zu einer bestimmten Grundmenge gehört. Hier wird ein “Universum“ vorausgesetzt, eine bestimmte Grundmenge G, die in zwei Mengen oder mehr Mengen zerlegt ist.

Komplementmenge A^C (Quelle: Brighterorange)

Die Menge A ist eingebettet in der Grundmenge U („Universum“). Alle Elemente, die nicht zu der Menge A gehören, sind Elemente der Komplementmenge A^C. Das hochgestellte C ist die Abkürzung für Complement („Ergänzung“). Diese Schreibweise ist aber äußerst unleserlich, wenn man damit Operationen durchführt. Ich verwende lieber den quer geschriebenen Strich über dem Buchstaben.

Menge: A

Komplementmenge: oder

Die letztere Schreibweise sieht nicht schön aus. Ich vermeide sie.

Formal:

oder

Die Komplementmenge wird gebildet aus der Differenz der Grundmenge U („Universum”) und der Menge A.

sprich: A quer.

Die Menge A und ihre Komplementmenge bilden zusammen das Universum U, auch Grundmenge genannt. Die Vereinigung einer Menge mit ihrer Komplementmenge führt zur Grundmenge U.

Komplementmenge (schraffiert)

Wichtig ist bei der Komplementmenge, es muss eine Grundmenge vorhanden sein, in der eine Menge enthalten ist. Die Menge, die außerhalb dieser Menge liegt, bezeichnet man als Komplementmenge (Ergänzungsmenge). Um das zu betonen, schreibt man über den Mengennamen einen Querstrich .

Die Komplementmenge ist eine spezielle Menge, eine Teilmenge, die durch „Aussonderung“ aus anderen Mengen entsteht, was unmittelbar zu dem Axiom des Aussonderungsschemas (Aus) führt.

Beispiel

Die Grundmenge U ist:

Die in der Grundmenge U enthaltene Menge ist:

Daraus ergibt sich die Komplementmenge :

Nachdem ich alle Elemente aus U gestrichen habe, die in A vorliegen, bleibt als Komplementmenge übrig:

Komplement („Ergänzung“)

Die Menge A ist in der festen Grundmenge G (hier als Quadrat dargestellt) enthalten. Die Komplementmenge befindet sich außerhalb der Menge A. Beide Mengen zusammen bilden die Grundmenge .