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Komplexe Funktionen

Was ist

Definition der e-Funktion

Alle reellen Funktionen mit Reihendarstellungen können auf diese Weise für komplexe Zahlen dargestellt werden.

Die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion, daher steht im Exponenten . Die Verdopplung einer natürlichen Zahl macht sie gerade, jedoch die Addition von eins macht sie dann ungerade.

Das Minuszeichen bei der Eins alterniert je nachdem, ob der Laufindex gerade oder ungerade ist.

Der Cosinus ist eine gerade Funktion, weshalb beim Exponenten nur steht.

Herleitung der Formeln

Anhand der Exponenten kannst du erahnen, dass der Sinus und Cosinus nur „halbe“ Reihenfunktionen sind. Sie ergänzen sich zu einem Ganzen, wenn man die Definition der e-Funktion anwendet.

Kommen wir auf die Ausgangsgleichung zurück:

Die Summe in einem Exponenten kann auf die Basis verteilt werden, wobei die Basis des einen Exponenten mit der gleichen Basis mit dem anderen Exponenten multipliziert wird.

Nimm zuerst die (gerade) Funktion Cosinus. Ersetze die Variable durch den Term .

Verteile den Exponenten auf die beiden Basen .

Bilde den Exponenten hoch Exponent, was ergibt.

Das Quadrat von ergibt minus eins. Nach der Umordnung der Faktoren:

Vergleiche die gewonnene Formel mit der Cosinusfunktion.

Nun berechne die (ungerade) Sinusfunktion. Benutze die Reihendarstellung für die -Funktion.

Ersetze die Variable durch .

Verteile den Exponenten auf die beiden Basen .

Bilde den Exponenten hoch Exponent, was ergibt.

Das Quadrat von ergibt minus eins. Nach der Umordnung der Faktoren:

Verschönere den Ausdruck, indem du die Variable vor das Summenzeichen setzt.

Vergleiche die gewonnene Formel mit der Sinusfunktion.

Setze die beiden Terme des Cosinus und Sinus zu einer Formel zusammen.