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Komplexe e-Identität

Diese Identität enthält eine komplexe Potenzierung, die eine enge Verbindung zur Kreisfunktion hat.

Jeder Punkt der Kreislinie des Einheitskreises kann durch die Linearkombination von Cosinus und Sinus erreicht werden (siehe die Zeichnung). Bei den komplexen Zahlen entspricht die -Achse der reellen Achse und die -Achse der imaginären Achse, was durch die Variable gekennzeichnet wird.

Der Winkel in der Potenz der -Funktion entspricht dem Winkel, der bei der -Achse rechts beginnt.

Wir durchlaufen mal den vollen Kreis von bis zum Ende bei . Dann sieht die obige Formel so aus:

Wir befinden uns dann auf der reellen Achse bei eins. Die imaginäre Achse haben wir verlassen. Die Rotation um eine Drehung ist eins.

Merke:

,

oder

Die Zahl 1 ist das neutrale Element der Multiplikation. Die geometrische Bedeutung von  besteht darin, dass die volle Umdrehung eines Punktes der komplexen Ebene ihn wieder an seine ursprüngliche Position zurückführt.

Die Gleichung verknüpft die Zahlen , welche die „fünf wichtigsten Zahlen der Mathematik“ genannt werden.

In der komplexen Ebene korrespondiert die horizontale Achse mit dem Realteil und die vertikale Achse mit dem Imaginärteil und damit mit den Koordinaten und .

Die Gradangaben können über den Nener bei der Polarform einfach ausgerechnet werden. Man teilt durch diesen Nenner.

Die Wurzeln beim Cosinus (Finger nach links) und Sinus (Finger nach rechts) kann man für bestimmte Gradangaben bequem angeben und zwar über das Abzählen der Finger der linken Hand.

Cosinus

Die Zahlen über den Fingern sind Gradangaben. Um den Cosinus von zu ermitteln, zähle wie viele Finger bis zum kleinen Finger (90 Grad) verbleiben. Diese Anzahl wird radiziert und in den Zähler geschrieben. Der Nenner ist immer zwei.

Merke dir die Richtung anhand der Position des Cosinus in der Gleichung der komplexen -Identität: . Er ist der linke Term.

Für charakteristische Gradangaben:

Sinus

Die Zahlen über den Fingern sind Gradangaben. Um den Sinus von zu ermitteln, zähle wie viele Finger bis zum Daumen (0 Grad) verbleiben. Der Grund liegt darin, dass der Sinus von null gleich null ist. Diese Anzahl wird radiziert und in den Zähler geschrieben. Der Nenner ist immer zwei.

Für charakteristische Gradangaben: