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Krummlinige Basis

Im wird oft, aber nicht immer eine passende Orthonormalbasis beschrieben.

Der Vektor wird beschrieben über die Koordinaten

Auf der -Achse befindet sich die Ankathete. Zur Startzeit soll sich der Vektor bei eins auf der -Achse befinden. Eingesetzt in die Formel für die -Richtung ergibt das den Wert:

.

Die Gegenkathete in -Richtung wird über den Satz des Pythagoras ermittelt.

Vereinfachen.

Dieser Algorithmus ist ungeeignet bei Änderung des Azimutwinkels . Dann eignen sich Berechnungen über Polarkoordinaten besser.

Koordinatenlinien

Koordinatensysteme werden durch Koordinatenlinien beschrieben.

Die Vertikalkoordinate läuft, während die anderen Koordinaten und festbleiben. Dadurch wird eine Koordinatenlinie erzeugt.

Der Index drei verweist auf die dritte Dimension, die in diesem Beispiel variiert wird.

Mengen:

Funktion:

Nur die Komponente im Ortsvektor wird variiert. Die anderen Komponenten sind fest.

Wie dann die Koordinatenkurve aussieht, wird über die Funktion gesteuert, welche die -Achse betrifft und von der Variation der einzelnen Punkte auf ihr abhängt .

Die Komponente im Vektor wird verändert, während die restlichen Komponenten festbleiben.

Beispiel

Eine Radiuskurve , bei der der Radius variiert, während der Azimutwinkel festbleibt.

Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten

Polarumgebung, Polarvektor

Kartesische Umgebung

Mengen:

Funktion:

Komponenten:

Die Ermittlung der Komponenten erfolgt über den Pythagoras in einem rechtwinkligen Dreieck:

Der Radius wird abgekürzt mit . Der Azimutwinkel heißt .

Definitionsbereich:

Die Polarkoordinaten werden aus den Wertepaaren von positiven Zahlen für den Radius und dem Azimutwinkel rundherum um den Nullpunkt des Koordinatensystems gebildet. Die Winkel null und (voller Kreis mit ) werden nicht berücksichtigt, sonst könnte man nicht mehr unterscheiden, welcher von beiden gemeint ist. Sie fallen ja zusammen.

Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten

Kartesische Umgebung

Polarumgebung

Mengen:

Funktion:

Komponenten:

Die -Komponente wird über den Pythagoras errechnet. Die Länge von entspricht dem Radius und wird berechnet als die Wurzel der Summe der Kathetenquadrate.

Die -Komponente entspricht dem Azimutwinkel und wird berechnet aus dem Arkustangens des Quotienten der -Höhe und der -Breite in einem Steigungsdreieck. Der Quotient ergibt den Tangens und sein Winkel ergibt sich aus seinem Arkustangens.

Definitionsbereich:

Die kartesischen Koordinaten werden aus den Zahlen der -Achse und -Achse gebildet und umfassen daher die reelle Fläche , jedoch ohne die Zahlen auf der -Achse.

Mit dem Symbol sind alle reellen positiven Zahlen einschließlich der Null gemeint.

Die Menge bedeutet, dass es nur Zahlenpaare geben soll, deren zweite -Komponente null ist.

Beispiel

Das Zahlenpaar in der Wertetafel: , , , , , , usw.

Stelle dir die Wertetafel so vor, dass die -Werte alle null sind.

Dieser Ausdruck bedeutet also, dass nur die Zahlen auf der -Achse erwünscht sind. Sie müssen bei der Berechnung von kartesischen Koordinaten rausfallen, sonst würde bei der Berechnung des Radius über den Satz des Pythagoras seine Länge auf null schrumpfen und wäre damit unbrauchbar.

Bei der Umrechnung der Koordinaten werden die bekannten Rechenverfahren (trigonometrische Funktionen, Satz des Pythagoras) benutzt.

Polarkoordinaten:

Es kommt hier darauf an, die -Komponente über den Cosinus und den Radius und die -Komponente über den Sinus und den Radius zu bestimmen.

Kartesische Koordinaten:

Es sind die -Komponente die -Komponente gegeben. Eine Rückrechnung auf die Länge des Radius und dem anliegenden Azimutwinkel erfolgt über den Satz des Pythagoras bzw. den Arkustangens der -Komponente die -Komponente.

Beide Koordinatensysteme sind über den Radius und den Azimutwinkel verbunden. Sie errechnen ihn über verschiedene mathematische Verfahren und können daher einen Punkt im Raum genau bestimmen.

Basis

Was ist eine geeignete Basis für die Beschreibung von Vektoren in der Umgebung von ?

Antwort:

Ableitung des Ortsvektors :

Der Input besteht aus den Variablen des benutzten Koordinatensystems. Das kann der Radius , der Azimutwinkel oder die - und -Koordinatenwerte sein.

In Komponenten:

Als Funktion:

Der Ortsveränderungsvektor der Koordinatenlinie ist die partielle Ableitung des Ortsvektors an der Komponente (Koordinatenlinie). Er wird abgekürzt als (Geschwindigkeitsvektor).

Intervall von j:

Bei Polarkoordinaten:

Der Index nimmt die Werte des Radius und des Azimutwinkels an.

Bei kartesischen Koordinaten:

Der Index nimmt hier die Zahl der Dimensionen an.

Was sind die Komponenten von
in der kartesischen Basis?

Die Koordinatenlinie kann die Werte des Radius und des Azimutwinkels annehmen.

zeigt nach links oben. Vektor zeigt geradeaus nach rechts oben. Die gebogene Kurve resultiert aus dem Input von (Polardarstellung).

Beispiel

Ebener Polarkoordinaten-Vektor :

Als Skalarprodukt mit den Einheitsvektoren :

Partielle Ableitung nach :

Partielle Ableitung nach :

Die beiden Vektoren und stehen senkrecht aufeinander.

Beweis:

Ihr Skalarprodukt muss null ergeben.

Die beiden Vektoren bilden also geeignete Basen. Wegen des veränderlichen Azimutwinkels können sich die Basen an einer Kurve mitbewegen.

Die obigen drei Basen bestehen aus senkrecht aufeinander stehenden Vektoren. Mit einer dieser Basen kann man den kompletten Raum aufspannen.

Die untere Basis liegt tangential an der roten Linie.

Notation einer Vektorbasis

Der Index verweist auf eine Basis, von welcher der Vektor abhängt. Die Koordinatenlinie heißt .

Für ein Koordinatensystem gilt:

Jeder Punkt definiert eine eigene Basis, die koordinatenabhängig ist. Jede Basis spannt den kompletten Raum auf, aber ist besonders gut geeignet in einer lokalen Umgebung von Vektor . Sie ist im Allgemeinen keine Orthonormalbasis.

Beschreibe die Geometrie der Koordinatenbasis, indem du Skalarprodukte der Basen von bildest. Es gibt vier Möglichkeiten. Der Index entspricht dem Radius und der Index entspricht dem Azimutwinkel .

ist der metrische Tensor, der von Punkt zu Punkt variiert. Er wird errechnet durch Skalarmultiplikation.

Zwei Basen berechnen mit dem:

• Radius :
  

• Winkel :

Vorgehensweise: Skalarprodukte aus den Basen bilden.

a) Radius mal Radius

(Trigonometrischen Pythagoras
benutzen)

b) Radius mal Winkel

( nach vorne bringen)

Der Radius-Vektor und der Winkel-Vektor stehen senkrecht aufeinander.

c) Winkel mal Radius

(Symmetrieeigenschaft von und
nutzen.)

c) Winkel mal Winkel

(Trigonometrischen Pythagoras
benutzen)

Zusammenfassung des metrischen Tensors

Basisvektoren in Polarkoordinaten:

, ,

In der Physik werden oft die Vektoren der lokalen Basis verwendet. Das ist der Fall bei Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten, deren Basis senkrecht aufeinander stehen, aber deren Länge unterschiedlich ist.

Einheitsvektoren

Der Vektor wird durch seine Länge dividiert bzw. durch den metrischen Tensor, der dann radiziert wird.

Ersetze den Index beim obigen Einheitsvektor jeweils durch den Radius und den Winkel und berechne den jeweiligen Einheitsvektor über den metrischen Tensor. Die beiden metrischen Tensoren mit den Null-Werten werden nicht berücksichtigt (Verbot der Division durch null).

Einheitsvektor des Radius

Ergebnis:

Einheitsvektor des Winkels

Ergebnis nach Division durch den Radius :

Die beiden Einheitsvektoren bilden die lokale Koordinatenbasis. Sie stehen senkrecht aufeinander und haben die Länge eins. Sie hängen nur vom Azimutwinkel ab.

Beweis:

und

Skalarprodukt ist null.

Ihre Länge ist eins.

In der Zeichnung sind die beiden Einheitsvektoren in rot gezeichnet.