• Startseite
• Inhalt
• Index

Kurvendiskussion

Lokale Extrema

f sei in (a, b) erklärt und , x₀ liegt nicht auf Rand

Lokales Minumum / Maximum (Definition)

x₀ heißt lokales Min (Max) von f wenn ein existiert, so dass mit (bzw. ).

Satz: Hinreichende und notwendige Bedingung 2. Ordnung für ein lokales Extremum

Existiert und hat f in x₀ lokales Minimum (Maximum), dann gilt (bzw. ). Gilt und (bzw. ) so liegt in x₀ ein lokales Minimum (Maximum) vor.

Gegenbeispiel

keine Extremstelle → Wendepunkt

Beispiel

Allgemeine Regel

Es sei und , dann hat f in x₀ weder Min noch Max, wenn n ungerade ist. Ist n gerade, dann gilt

Beweis

hat gleiches Vorzeichen wie , falls x nahe an x₀ liegt. n sei jetzt ungerade, dann wechselt in x₀ das Vorzeichen.

wechselt ebenfalls das Vorzeichen. Wenn n gerade ist

→ lokales Min oder Max

Beispiel

in x₀, Min

Beispiel

Monotonie

in (a, b) wächst streng monoton

in (a, b) fällt streng monoton

Bemerkung: ist streng monoton wachsend, aber

Wendepunkte (Definition)

heißt konvex (konkav), wenn (bzw. ) für alle und .

Gilt die strenge Ungleichheit „<“ (bzw. „>“) für , so heißt f streng konvex (streng konkav).

Man kann mit der zweiten Ableitung die Funktion auf Konvexität untersuchen

Wendepunkt (Definition)

Trennt x₀ Bereiche in denen f streng konvex bzw. konkav ist, so heißt x₀ Wendepunkt.

Durchstoßende Tangente (Definition)

Tangente durchstößt den Graph von f in x₀

Hinreichende Bedingung wenn in x₀ das Vorzeichen ändert.

Bemerkung:

Eine Kurvendiskussion umfasst die Bestimmung von Definitionsbereich, Wertebereich, Monotonie, Extrema, Wendepunkte, Konvexität/Konkavität, Verhalten im Unendlichen (Unendlich), Asymptoten.