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Leere Menge

Leermenge

Eine Menge, die kein Element enthält, heißt Leermenge.

Symbole:

oder

Für „Leermenge” kann man auch „leere Menge” sagen. Da ist wirklich nichts drin. Ob man nun eine durchgestrichene Null schreibt oder eine leere Klammerung, ist Geschmackssache. Es kommt auf die optische Lesbarkeit in bestimmten Formeln an, welcher Schreibweise der Vorzug gegeben wird.

Beispiel

Die Wurzel aus minus eins ergibt eine imaginäre Zahl, nämlich i. Sie gehört nicht zu den reellen Zahlen . Damit hat die Gleichung keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist leer.

Warum die leere Menge Element aller Mengen ist.

Für alle Mengen gilt :

indirekter Schluss:

Beweis:

Wir nehmen das Gegenteil an. Es gibt eine Menge , so dass , dann muss ein Element existieren, welches nicht in liegt, aber in . Wenn aber ein Element in existiert, ist es keine leere Menge.

Widerspruch~M

→ es gilt .

Die leere Menge ist immer Teilmenge jeder Menge.