Grenzwert im Unendlichen
Definition
Eine Zahl heißt Grenzwert der Funktion
für
(bzw.
) genau dann, wenn gilt:
bzw.
Symbolik
bzw.
Das Inkrement wird mit dem Delta symbolisiert. Der Ausdruck wird mit dem Delta ausgedrückt, das als linker Index beim Funktionssymbol
steht. Der Grenzwert wird bestimmt, wenn der Quotient der Differenz der beiden Funktionen
und
und dem Inkrement gegen null strebt.
Funktionen mit einfachem Inkrement:
Funktionen mit Inkrement bei Vektoren:
Grenzwert von :
Ableitung nach (mit Startwert):
Ableitung nach (ohne Startwert):
Herleitung:
Ableitung nach :
Ableitung nach :
Ableitung eines Vektors nach :
Herleitung:
Alte Notation:
Grenzwert
, hat in
den Grenzwert g, falls für jede Folge
mit
gilt:
Wir schreiben auch
• wenn der Grenzwert existiert, so ist die Funktion
stetig an .