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Lineare Gleichungssysteme

Erstellen der Matrixdarstellung aus drei gegebenen Bildpunkten

Gegeben sind und ihre Bildpunkte .

Gesucht sind die Abbildungsmatrix und der konstante Vektor für die zugehörige affine Abbildung .

Schritt: Schreibe die Abbildungsgleichung in Koordinatenform:

Schritt: Setze in die erste Gleichung die Koordinaten der gegebenen Punkte und Bildpunkte ein. Es entsteht ein LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen. Löse es mit dem Gaußverfahren oder dem Determinantenverfahren.

Schritt: Verfahre genauso mit der zweiten Gleichung.

Sei eine -Matrix mit Elementen aus und .

Das System

heißt lineares Gleichungssystem (LGS) mit m Gleichungen und n Unbekannten.

Jedes n-Tupel (Vektor) , das alle Gleichungen löst, heißt Lösung des Systems. Die Gesamtheit aller Lösungen heißt Lösungsraum.

Der Gaußsche Algorithmus

Folgende Operationen verändern die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht:

Vertauschen von Gleichungen

Multiplizieren einer Gleichung mit

Addition eines beliebigen Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen des Systems

Idee des Gaußschen Algorithmus:

Transformation des Gleichungssystems mit obigen Operationen auf Trapezgestalt.

Beispiel 1)

Von zweiter Zeile die erste abziehen, von dritte das Zweifache der ersten abziehen.

Das Dreifache der zweiten Zeile zur dritten addieren.

grafische Interpretation: Schnittpunkt von drei sich schneidenden Ebenen

Beispiel 2)

von zweiter Zeile die erste Abziehen nicht lösbar

grafische Interpretation: zwei parallele Ebenen

Beispiel 3)

Wir ersetzen eine beliebige Variable durch λ, z.B.

Geradengleichung

grafische Interpretation: Schnittgerade von zwei sich schneidenden Ebenen

Beispiel 4)

Vertauschen von Spalten im Gaußschen Algorithmus nicht erlaubt.

Allgemeines Schema

Die Vorwärtselimination

Man bringt durch eventuelle Zeilenvertauschung eine Zahl an die erste Stelle der ersten Spalte und annulliert die darunter stehenden Zahlen durch Subtraktion eines passenden Vielfachen der neuen ersten Zeile von der zweiten, dritten, …. Auf diese Weise entsteht aus A|b eine Matrix B|c der Form

Falls die Nullmatrix ist, ist die Elimination beendet. Andernfalls wiederholt man die obige Prozedur.

Es entsteht:

Die Lösbarkeitsentscheidung

Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn .

Wir setzen jetzt voraus, dass . Wir lassen die -te bis m-te Gleichung weg. Wir erzeugen jetzt eine Dreiecksgestalt von M, indem wir die Diagonalkoeffizienten der Reihe nach untersuchen, ob sie verschieden von Null sind. Ist ein Diagonalkoeffizient gleich Null, wird die entsprechende Unbekannte x_i parametrisiert. Im Ergebnis entsteht eine Dreiecksstruktur, die leicht aufgelöst werden kann.

Beispiel

Beispiel

Gerade

Das homogene Gleichungssystem

Betrachten ,

Satz

hat genau dann als einzige Lösung , wenn (n ist die Anzahl der Unbekannten).

Die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystem enthält n- freie Variable.

Ist die Zahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der Unbekannten (m < n), dann besitzt von Null verschiedene Lösungen.

Das inhomogene Gleichungssystem

Betrachten ,

Satz

Lösbarkeitstest ist genau dann lösbar, wenn gilt:

Struktur der Lösungsmenge.

Ist das System lösbar, dann lässt sich die allgemeine Lösung darstellen in der Form mit der speziellen Lösung von und der allgemeinen Lösung von .

Ist lösbar, dann enthält die allgemeine Lösung n- freie Variable.

, sei spezielle Lösung von

und sei allgemeine Lösung

ist allgemeine Lösung von