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Lineare Näherung

Bei einem Differenzial handelt es sich um eine infinitesimal kleine Änderung des Höhenunterschieds bei der -Achse, die durch einen ebenso infinitesimalen Schritt auf der -Achse macht. Das nennt man Steigung. Der Vorgang heißt ableiten einer Funktion.

1) Ausgangslage:

2) Der -Wert liegt bei .

Schritt in x-Richtung:

Der -Wert hat sich erhöht und liegt jetzt bei .

3) Wachstumsrate:

Der -Höhenunterschied bezogen auf die -Änderung drückt die Wachstumsrate aus.

Man könnte die Wachstumsrate in Prozent angeben wie auf dem bekannten Verkehrsschild. Es weist den Autofahrer darauf hin, dass die Straße eine 12-prozentige Steigung hat.

Eine Angabe von Steigung bedeutet, dass die Höhe um zunimmt. und zwar bezogen auf in waagerechter Richtung. Das entspricht dem Steigungsdreieck.

Steigungsdreieck

Die Berechnung der Steigung sieht so aus:

Ich benutze für die Formel der Wachstumsrate die -Notation von oben.

Anstelle des Begriffs Wachstumsrate denke dir Steigung. Wenn ich die Breitenänderung infinitesimal klein setze, benutze ich das Symbol , das die Abkürzung für lateinisch limes ist und Grenze bedeutet. Wir befinden uns also im Grenzbereich der Zahlen im Unendlichen, nur dass sie in diesem Fall nahe an Null heranpirschen.

Hier siehst du vorne das Limes-Symbol und darin den Bruch wie bei der Formel für die Wachstumsrate. Das Ergebnis ist das Differenzial , was die Steigung in einem beliebigen Punkt auf der-Achse darstellt.

Durch einfache algebraische Umstellung der Gleichung kann man den -Wert einer Funktion über das Differenzial errechnen. Ich lasse bei der obigen Gleichung das Limes-Symbol weg.

Ich stelle nun die Gleichung um. Das Inkrement auf die andere Seite bringen.

Die Funktion auf die andere Seite bringen. Nach der Umformung erhält man die lineare Näherung.

Beachte das Ungefähr-Gleich-Symbol .

Über diese lineare Näherung kann man den nächsten -Wert berechnen, wenn man den Schritt auf der -Achse sowie die Steigung der Funktion beim Startpunkt kennt.

Die Näherungsgleichung lautet:

Die Schrittweite ist die Differenz des nächsten -Wertes von einem vorgegebenen Startpunkt .

Beispiel

Gegeben ist die Wurzelfunktion:

Aufgabe: Berechne die lineare Näherung bei .

Dazu braucht man die Ableitung der Wurzelfunktion.

Formale Ableitungsregel:

Berechnete Ableitung:

Ich zeige dir, welches Ergebnis bei der linearen Annäherung herauskommt. Dazu brauchen wir zwei Funktionswerte.

Der Funktionswert wird durch Einsetzen von in die Wurzelgleichung leicht errechnet.

Der Wert der Ableitung wird ebenfalls durch Einsetzen von errechnet.

Die beiden Zahlenwerte werden in die Formel für die lineare Näherung eingesetzt. Der Parameter wird durch die Differenz ausgedrückt. Die infinitesimale Steigung (das Differenzial) schreibe ich davor.

Die errechneten Zahlen für und sowie einsetzen.

Mit dieser Funktion  wird also die Wurzelfunktion  aus der Aufgabe um die Stelle  am besten genähert.

Wie verhält sich die lineare Näherung bei ? Ich setze diesen Wert in die Näherungsgleichung ein.

Der genaue Wert liegt bei . Hier habe ich in die Wurzelgleichung der Aufgabe eingesetzt. Die lineare Näherung ist relativ gut.

Bürgerliche Darstellung

Beispiel

Berechne mit Hilfe des Differenzials die lineare Näherung der Funktion an der Stelle .

Wie groß ist

Die Funktion mit dem Wert soll von der Stelle aus berechnet werden.

Gegeben sind:

Den -Zuwachs errechnen. Das betrifft nur die Zahlen in den Klammern.

Den -Zuwachs errechnen, indem man die gegebene Funktion benutzt und sie ableitet. Dann die gegebene Stelle einsetzen sowie den -Zuwachs .

Ausrechnen.

Die Näherungsfunktion über das Differenzial berechnen.

Formel:

Zahlen einsetzen.

Berechnung laut Taschenrechner: