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Lösungsverfahren für eine DGL

Es werden die verschiedenen Typen von Differenzialgleichungen (DGL) aufgelistet.

Ziel einer DGL

Aus dem Gemisch von Variablen , und deren Ableitungen in einer Gleichung soll eine „normale“ Funktion von der Struktur entwickelt werden.

Ordnung einer DGL

Die Ordnung einer DGL gibt die höchste Ableitung einer Variablen an.

Beispiele

Die erste Ordnung ist (erste Ableitung). Die zweite Ordnung ist (zweite Ableitung).

Störfunktion

Bei der Störfunktion tauchen in der DGL noch eine Null oder ein -Termin auf der rechten Seite auf. Auf der linken Seite stehen nur die -Terme. Diese Funktion beeinflusst zusätzlich die DGL. Sie wird mit bezeichnet.

Beispiele

homogene DGL, wegen

inhomogene DGL, wegen

Ist , dann heißt die DGL „homogen“, ansonsten bei „inhomogen. Zur Lösung einer DGL muss eine inhomogene DGL in eine homogene überführt werden.

Darstellung einer DGL

Die Anordnung der - und x-Terme ist ein Kriterium für die Bezeichnung einer DGL als „explizit“ oder „implizit“. Wenn alle y-Terme auf der linken Seite stehen, spricht man von einer expliziten Darstellung, ansonsten bei einem „Durcheinander“ von einer impliziten Darstellung. Vor der Lösung einer DGL muss man sie erst in die explizite Darstellung verwandeln.

Beispiele

explizite Darstellung, weil sich und jeweils auf einer Seite befinden

implizite Darstellung, weil und ungeordnet sind

Linearität einer DGL

Ob eine DGL linear ist oder nicht, siehst du an den Koeffizienten bei den Ableitungen oder oder dem selber. Handelt es sich hier nur um reine Zahlen, liegt eine Linearität vor. Besteht jedoch der Koeffizient aus einer Variablen, kann es keine Linearität sein.

Beispiele

lineare DGL, weil die Koeffizienten aus Zahlen bestehen

nichtlineare DGL, weil ein Koeffizient aus der Variablen besteht

auch nicht linear wegen dem Koeffizienten

auch nicht linear wegen dem Bruch bei der Ableitung

Die Linearität entscheidet darüber, welches Lösungsverfahren benutzt.

Lösungsverfahren von ausgewählten DGL

Die Grundidee ist, dass die Ableitungen einer DGL so bearbeitet werden, dass daraus eine „normale“ Funktion wird. Sie hängt dann nur noch von ab.

Fall 1: Nichtlineare DGL der 1. Ordnung

Beispiel

Diese DGL ist implizit, weil die - und -Variablen jeweils nicht fein säuberlich auf den beiden Seiten der Gleichung verteilt sind.

Lösungsverfahren: Zur Lösung der DGL werden die beiden Variablen getrennt, also auf eine explizite Darstellung gebracht. Dann können beide Seiten der Gleichung integriert werden. Anschließend wird nach aufgelöst.

Fall 2: Lineare DGL der 1. Ordnung

Beispiel

Diese DGL ist explizit wegen der Aufteilung der - und -Variablen jeweils getrennt rechts und links vom Gleichheitszeichen.

Lösungsverfahren: Hier muss man aus der inhomogenen DGL eine homogene DGL machen, also die rechte Seite auf setzen. Die Störfunktion ist .

Die homogene DGL nennen wir . Dafür müssen wir eine Lösung finden. Der Index verweist auf die Störfunktion .

Dann müssen wir noch eine spezielle Lösung mit einem geeigneten Lösungsansatz finden. Das ergibt ein . Der Index verweist auf die spezielle Lösung.

Die beiden Lösungsansätze für und sind verschieden.

Im letzten Schritt ergibt sich die allgemeine Lösung aus der Addition der beiden Lösungsansätze.

Fall 3: Lineare DGL der 2. Ordnung

Beispiel

Diese DGL ist explizit wegen der Aufteilung der - und -Variablen jeweils getrennt rechts und links vom Gleichheitszeichen.

Es wird das gleiche Lösungsverfahren (wegen der Linearität) wie beim Fall 2 angewandt, siehe , , aber mit anderen Lösungsansätzen. Fall 2 und Fall 3 unterscheiden sich nur durch ihrer Ordnung (erste und zweite Ableitung).