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Mathematische Aussagen

<$n> Aussagenlogik

Aussagen

Zuvor eine kleine Geschichte.

Ballonfahrer (Bild: Naumann & Göbel)

Ein Heißluftballon kommt einem herunter. Unten steht ein Mann und blickt neugierig nach oben.

Der Ballonführer fragt den Mann: "Wo befinde ich mich?"
Der Mann überlegt zwei Minuten und meint dann "im Korb eines Ballons..."
Dieser Mann ist zweifelsfrei ein Mathematiker.

Warum?

Das ist die Lösung der lustigen Geschichte: Der Ballonfahrer wollte eigentlich wissen, bei welcher Ortschaft er gelandet war und nicht, dass er sich im Ballon befand. Das war für ihn ja selbstverständlich. ! ! ! Für Mathematiker ist aber von vornherein nichts selbstverständlich!

Mathematiker wollen nur mit klaren Begriffen arbeiten. Ihre Definitionen gelten für alle Mathematiker auf der ganzen Welt. Jeder Mathematiker kann den anderen verstehen, weil sie beide die gleichen Begriffe mit dem gleichen Inhalt gebrauchen.

In der Mathematik werden Aussagen über bestimmte Sachverhalte gemacht. Sie entstammen der Umgangssprache, jedoch werden sie genau eingegrenzt, was man Definition (von lat. definitio „Abgrenzung” aus de „ab/weg” und finis „Grenze”) nennt. In der Mathematik glücken die Definitionen oft besser als in den Geisteswissenschaften. Die Gelehrten aller Fachbereiche sind bemüht, so klar und so deutlich wie möglich Informationen zu vermitteln. Solche Informationen werden als Aussagen betrachtet, wenn sie eine bestimmte Ausprägung haben. Fragen, Befehle, Bitten, halbe Sätze, Ausrufe und emotionale Äußerungen gehören dazu garantiert nicht. Man kann sie in der Wissenschaft nicht gebrauchen.

Eine präzise Aussage erkennt man daran, ob sie eindeutig mit wahr oder falsch beantwortet werden kann.

Ein unentschiedenes Sowohl-als-Auch, ein Lavieren zwischen verschiedenen Standpunkten oder Kompromissformeln sind in der Wissenschaft nicht brauchbar. Geschwafel, der Smalltalk oder Wischiwaschi-Angaben gehören nicht zu dem Aussagentyp, wie er zum wissenschaftlichen Forschen notwendig ist.

Im täglichen Leben, wo es so viele unterschiedliche Zustände geben kann, etwas zu betrachten und zu denken, trifft dieses rigorose Ja-Nein-Schema oder Wahr-Falsch-Schema nicht zu. In der Mathematik beschränkt man sich aber mit Absicht nur auf Entweder-Oder-Entscheidungen. Das hat den großen Vorteil der Eindeutigkeit. Deshalb gibt es hier oftmals abstrakte, aber klare Definitionen, die oftmals nicht sofort verständlich sind. Darauf baut die gesamte Mathematik auf, einem Hassfach für viele Schüler, aber ein Juwel für intellektuelle Genießer und eine Grundvoraussetzung, an der Universität die naturwissenschaftlichen Studienfächer zu bestehen.

Eine Aussage ist ein Sprachkonstrukt, das entweder wahr oder falsch ist. Für zwei Aussagen A  und B existieren Verknüpfungen.

Eigenschaften von Aussagen

Negation

heißt eine Aussage, die verneint wird.

Negiert ihr den Allquantor, dann verwandelt er sich in einen Existenzquantor. Aus „alle” wird „ein”. Die Aussage H(x) wird ebenfalls negiert

Widerspruch

heißt eine zusammengesetzte Aussage, die immer falsch ist.

Tautologie

heißt eine Aussage, die immer wahr ist.

Aussagen

Gedankliche Gebilde in Form eines Aussagesatzes, die stets genau einen und nicht mehr als einen Wahrheitswert (wahr, falsch) annehmen.

Alle anderen sprachlichen Jein-Gebilde (Mehrdeutigkeiten) sind in der Mathematik verpönt und nutzlos. In unseren Sprachgebrauch werden wir (Implikation) und (Äquivalenz) wie folgt anwenden:

Implikation :

Sprich: „Wenn gilt, gilt auch .“

Oder alternativ etwas gestelzt formuliert:

„ ist hinreichende Bedingung für .“

Noch eine andere Formulierung, bei der das Pferd von hinten aufgezäumt wird:

„ ist notwendige Bedingung für .“

Beispiele

= Ich schreibe eine 2 in der Prüfung

→

= Ich bestehe.

Wenn x Element der natürlichen Zahlen ist, dann ist es auch Element der reellen Zahlen.

Wenn die Wurzel aus die natürliche Zahl 2 ergibt, dann gehört sie nicht zu den rationalen Zahlen (Brüchen).

Äquivalenz :

ist notwendig und hinreichend für .

Beispiel

Die Aussage, x ist kein Element der Menge ist gleichwertig mit „ich negiere eine bestehende Elementbeziehung von x und “.

Wahrheitstabellen

1) Implikation

Die Implikation ist genau dann falsch, wenn wahr ist und falsch ist. Schreibt euch hinter die Ohren: Aus falschen Annahmen folgen immer wahre Aussagen . Deshalb bestehen die Mathematiker darauf, dass die Annahme unbedingt wahr ist.

Wahrheitstabelle der Implikation

2) Äquivalenz :

Die Äquivalenz ist genau dann wahr, wenn beide und entweder wahr oder falsch sind. Zwei w oder zwei f müssen zusammentreffen, dann ist der Schluss richtig. Auch hier versucht der Mathematiker, ein falsches oder auszuschalten.

Wahrheitstabelle der Äquivalenz

3) Konjunktion (und)

Die Konjunktion ist genau dann wahr, wenn und wahr sind. Es müssen zwei w zusammentreffen, sonst ist alles falsch.

Wahrheitstabelle der Konjunktion

4) Alternative (Disjunktion, oder)

Die Alternative (Disjunktion) ist falsch, wenn und falsch sind. Es muss zumindest ein w zutreffen. Bei zwei f zusammen hat man verloren. Das führt zu einem falschen Schluss.

Wahrheitstabelle der Alternative

5) Ausschließendes Oder (XOR, entweder-oder)

Das ausschließende Oder ist nur, wenn und verschiedene Wahrheitswerte haben. Gleiche w oder f zusammen fallen aus dem Raster. Hier ist der Schluss dann falsch.

Wahrheitstabelle des ausschließenden Oder

6) Negation

Die Negation von ist wahr, wenn falsch ist. Das ist wie bei einem Lichtschalter an –aus.

Wahrheitstabelle der Negation