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Mathematische Ebene

Mathematische Ebene

Die mathematische Ebene ist die Menge aller reellen Zahlenpaare. Es gibt also eine x-Achse und eine y-Achse, zwischen denen sich lauter Zahlenpaare befinden können. Diese Zahlenpaare kann man als Elemente der Fläche (Ebene) ansehen. Ein Element der Ebene heißt Punkt. Die Klammer symbolisiert die kartesischen Koordinaten der Ebene. Der erste Wert bezieht sich auf die -Achse. Der zweite Wert bezieht sich auf die -Achse. Damit kann man exakt die Position des Punktes innerhalb des Koordinatensystems angeben. Es gibt auch einen Ursprung, den Punkt . Er befindet sich am Kreuzungspunkt der beiden Koordinaten. Er heißt wie der Buchstabe o. Die Zahlen in der Klammer sind Nullen. Manchmal kann man das optisch nicht gut auseinander halten. Merkt euch den Buchstaben o als Abkürzung des lateinischen Begriffs origo = Ursprung.

Geometrische Deutung von Vektoren

In einem früheren Kapitel haben wir die Zeichenebene mit einem Koordinatensystem ausgestattet. Es hat uns erlaubt, Punkte mit (geordneten) Zahlenpaaren zu identifizieren. Üblicherweise werden die Koordinatenachsen bzw. die zugehörigen Koordinaten mit den Buchstaben x und y (manchmal auch und ) bezeichnet. Die Zeichenebene selbst kann dann als Menge aller reellen Zahlenpaare, genannt , aufgefasst werden.

Auch der (dreidimensionale) Raum kann mit einem Koordinatensystem ausgestattet werden:

Legen Sie ein Blatt Papier mit eingezeichneter x- und y-Achse vor sich auf einen Tisch und denken Sie sich eine dritte, die z-Achse, normal auf die beiden anderen durch den Ursprung (mit positiver Richtung nach oben) in den Raum gelegt. Auf diese Weise kann durch die Angabe dreier Zahlen x, y und z (manchmal auch als , und bezeichnet) die Lage eines Punktes im Raum eindeutig festgelegt werden:

x und y legen zunächst einen Punkt in der xy-Ebene, die durch das Blatt Papier dargestellt wird, fest. Dieser Punkt wird dann um den Wert z gehoben (bzw., wenn z < 0 ist, gesenkt).

Umgekehrt bekommt auf diese Weise jeder Punkt des Raumes drei Koordinaten, und wir können den Raum selbst als Menge aller (geordneten) reellen Zahlentripel, genannt , auffassen.

Dank dieser Konstruktionen besitzen zwei- und dreikomponentige Vektoren anschauliche geometrische Deutungen.